funktion auf injektivität überprüfen

Question

Aufgabe:

f(x) = e^(2x)+x^(2)-2

auf injektivität überprüfen

Problem/Ansatz:

       f(x) = f(x')

e^(2x)+x^(2)-2      =     e^(2x')+x'^(2)-2       | +2 

e^(2x)+x^(2)          =     e^(2x')+x'^(2)          | ln

2x+ ln(x^2)            =      2x' + ln(x'^2)

weiter komme ich nicht. Jemand ne idee was man im nächsten schritt machen könnte?

Comments

korrektur: reelle zahlen > 0

also die begründung mit der parabel ist ungültig.

die funktion müsste ja somit definitiv injektiv sein in dem Definitionsbereich. nur weiß ich jz  nicht wie ich das für R>0 zeigen kann.

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habs verstanden. man kann immer noch mit graph argumentieren, indem man zeigt, dass sich für R>0, also im positiven bereich, nur die steigende Seite der Parabel befindet. die ist dann injektiv

Answer 1

Deine letzte Umformung ist falsch:

ln von einer Summe ist nicht die Summe der

ln der Summanden.

Außerdem ist die Funktion nicht Injektiv.

Berechne f(-2)  (ist positiv)   und f(0)=-1

und f(1) (ist wieder positiv.

Also gibt es zwischen -2 und 0 einen Wert mit f(x)=0

und zwischen 0 und 1 auch einen.

Answer 2

Du hast keinen Definitionsbereich angegeben !

Soll ganz  ℝ  der Definitionsbereich sein, so ist die Funktion bestimmt nicht injektiv, was auch leicht festzustellen ist. Beispielsweise könnte man den Graph recht leicht skizzieren, auch ohne Verwendung von Rechnern, Computern und Software.

Dein Lösungsansatz geht schon beim Logarithmieren von Summen fehl.