Bestimmen Sie den Grenzwert von einer langen funktion

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Grenzwert
$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(-4\left(\frac{1}{n}+1\right)^{n} \cdot \frac{(2+2 n)^{2}}{(1+n)^{2}}+\frac{n}{1+n^{2}}\right) $$

Ich habe kleinere funktionen hingekriegt aber hier bin ich komplett aufgeschmissen.
Wäre für ein lösungsweg dankbar wenn möglich

Answer 1

Verwende die Grenzwertsätze und berechne die Grenzwerte

der Teilterme, also

(  1/n  + 1 ) ^n  geht gegen e, also 
-4*(  1/n  + 1 ) ^n  geht gegen -4e.

(2+2n)^2 / (1+n)^2 erst mal umformen

= ( 2*(1+n) / (1+n) )^2 = 2^2 = 4

hängt also gar nicht von n ab, also

Grenzwert 4.

Damit hast du -4*(  1/n  + 1 ) ^n * (2+2n)^2 / (1+n)^2 
geht gegen -4e*4 = -16e.

Der letzte Summand geht gegen 0, also ist insgesamt der

Grenzwert -16e.

Answer 2

(1+1/n) = e für n gg.oo

(2n+2)^2 = 2^2(n+1)^2 → mit(n+1)^2 kürzen

n/(1+n^2) = 1/(1/n+n) = 1/(0+n) = 1/n = 0 für n gg.oo

-> -4*e +0 = -4e