Taylorpolynom berechnen und entwickeln

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion $f:]-1, \infty\left[\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x}}\right.$

a) Berechnen Sie das Taylorpolynom $T_{f, 2,2}(x)$ von $f$ zweiter Ordnung an der Entwicklungsstelle $x_{0}=2$

b) Schätzen Sie $\left|f(x)-T_{f, 2,2}(x)\right|$ für $x \in[1,3]$ unabhängig von $x$ ab.

Answer 1

Aloha :)

Um die Quotientenregel der Ableitung zu umgehen, machen wir zuerst folgende Umformung:$$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x}}=\frac{1+x-1}{\sqrt{1+x}}=\frac{1+x}{\sqrt{1+x}}-\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\sqrt{1+x}-\frac{1}{\sqrt{1+x}}$$$$f(x)=(1+x)^{\frac{1}{2}}-(1+x)^{-\frac{1}{2}}$$$$f'(x)=\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{3}{2}}$$$$f''(x)=-\frac{1}{4}(1+x)^{-\frac{3}{2}}-\frac{3}{4}(1+x)^{-\frac{5}{2}}$$

An der Stelle $x_0=2$ finden wir:$$f(2)=3^{\frac{1}{2}}-3^{-\frac{1}{2}}=3^{\frac{1}{2}}\left(1-3^{-1}\right)=\sqrt3\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}\sqrt3$$$$f'(2)=\frac{1}{2}\,3^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\,3^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{2\sqrt3}\left(1+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2\sqrt3}\,\frac{4}{3}=\frac{4\sqrt3}{18}=\frac{2}{9}\sqrt3$$$$f''(2)=-\frac{1}{4}\,3^{-\frac{3}{2}}-\frac{3}{4}\,3^{-\frac{5}{2}}=-\frac{1}{4\sqrt3}\left(\frac{1}{3}+3\cdot\frac{1}{9}\right)=-\frac{1}{4\sqrt3}\,\frac{2}{3}=-\frac{1}{18}\sqrt3$$

Damit können wir die Taylor-Näherung hinschreiben:$$T_{f,2,2}(x)=f(2)+f'(2)\cdot(x-2)+\frac{1}{2}f''(2)\cdot(x-2)^2$$$$T_{f,2,2}(x)=\frac{2\sqrt3}{3}+\frac{2\sqrt3}{9}(x-2)-\frac{\sqrt3}{36}(x-2)^2$$

Zur Restgliedabschätzung können wir nach Lagrange das Betrag-Maximum des nächstfolgenden Taylor-Summanden im Intervall $x\in[1;3]$ heranziehen.

$$f'''(x)=\frac{3}{8}(1+x)^{-\frac{5}{2}}+\frac{15}{8}(1+x)^{-\frac{7}{2}}$$$$f'''(2)=\frac{3}{8}(3)^{-\frac{5}{2}}+\frac{15}{8}(3)^{-\frac{7}{2}}=\frac{1}{8\sqrt3}\left(3\cdot\frac{1}{9}+15\cdot\frac{1}{27}\right)=\frac{1}{8\sqrt3}\cdot\frac{8}{9}=\frac{1}{27}\sqrt3$$$$R_{f,2,2}(x)=\left|\frac{1}{3!}\cdot\frac{1}{27}\sqrt3\cdot(x-2)^3\right|=\left|\frac{\sqrt3}{162}(x-2)^3\right|<\frac{\sqrt3}{162}\quad\text{für}\quad x\in[1;3]$$Die maximale Abweichung liegt also bei $\frac{\sqrt3}{162}\approx0,0107$.

Answer 2

1. Bereche f(x) bis zur 2. Ableitung

2. Berechne f(2), f'(2), f''(2), da x0 = 2

3. setze alles in die Formel Tf,a,2(x) = f(a)+f'(a)(x-a)+1/2f''(a)(x-a)² ein.

Answer 3

T(x) = f(2) + f ' (2) ( x-2) + f ' ' (2) / 2! *(x-2)²

mit f ' (x) = (x+2) / ( 2*(x+1)^(3/2) ) hast du f ' (2) = 2√(3) / 9

und f ' ' (x) = ( 2*(x+1)^(3/2) - (x+2)*2*(3/2)*(x+1)^(1/2) ) /  ( 4(x+1)³ )

            gibt f ' '  (2)  = -√3  / 18

Also  T(x) = 2/√3 + (2√(3) / 9 )(x-2)  - (√3  / 36)*(x-2)²