Aloha :)$$\dot{ \vec x}(t)=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 0\\2 & -1 & 0\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}\,\vec x(t)\quad;\quad\vec x(0)=\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}$$Zur Bestimmung der Eigenwerte betrachte das charakteristische Polynom:$$0\stackrel{!}{=}\begin{vmatrix}-2-\lambda & 0 & 0\\2 & -1-\lambda & 0\\0 & 1 & 0-\lambda\end{vmatrix}=-\lambda(2+\lambda)(1+\lambda)$$Die Determinante kann man direkt nach der letzten Spalte entwickeln und die Eigenwerte ablesen:$$\lambda_1=0\quad;\quad\lambda_2=-2\quad;\quad\lambda_3=-1$$Die zugehörigen Eigenvektoren \(\vec v_i\) erhalten wir durch Einsetzen der Eigenwerte in die charakteristische Matrix und Auflösen nach \(\vec 0\):$$\begin{array}{r}x & y & z & =\\\hline-2 & 0 & 0 & 0\\2 & -1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 &0\end{array}\quad\Rightarrow\quad x=0\,,\,y=0\,,\,z\in\mathbb R\quad\Rightarrow\quad\vec v_1=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$$$\begin{array}{r}x & y & z & =\\\hline0 & 0 & 0 & 0\\2 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 2 &0\end{array}\quad\Rightarrow\quad y=-2x\,,\,z=-\frac{1}{2}y\quad\Rightarrow\quad\vec v_2=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$$$$\begin{array}{r}x & y & z & =\\\hline-1 & 0 & 0 & 0\\2 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 &0\end{array}\quad\Rightarrow\quad x=0\,,\,z=-y\quad\Rightarrow\quad\vec v_3=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$$Die Lösung ist eine Linearkombination aller Einzellösungen:
$$\vec x(t)=A_1\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}e^{0\cdot t}+A_2\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}e^{-2\cdot t}+A_3\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}e^{-t}$$Aus der Anfangsbedingung \(\vec x(0)=(4|3|0)^T\) folgen die Konstanten:$$4=A_2$$$$3=-2A_2+A_3=-8+A_3\quad\Rightarrow\quad A_3=11$$$$0=A_1+A_2-A_3=A_1+4-11=A_1-7\quad\Rightarrow\quad A_1=7$$Für das konkrete Anfangswertproblem haben wir also die Lösung:$$\vec x(t)=\begin{pmatrix}0\\0\\7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\-8\\4\end{pmatrix}e^{-2\,t}+\begin{pmatrix}0\\11\\-11\end{pmatrix}e^{-t}$$
