Polynomorthogonal zu span{p0(x),p1(x),p2(x)}

Question

Aufgabe:

Gegeben: gewichtetes Skalarprodukt: ∫ f(x)*g(x)*w(x)dx von den Grenzen -1 bis 1, mit dem Gewicht w(x)= x² und  p0(x)=1, p1(x)=x, p2(x)=x²-3/5

Zeigen Sie, dass das Polynom p3(x)=x³-5/7*x orthogonal zu span{p0(x),p1(x),p2(x)} bezüglich dieses Skalarprodukts ist.

Problem/Ansatz:

bei der angegeben Aufgabe komme ich leider nicht mehr weiter, weil ich nicht weiß wie ich den Span darstellen soll und dann die Orthogonalität zeigen kann. Ich wäre dankbar für jede Hilfe

Answer 1

Ein Vektor ist orthogonal zu einem Untervektorraum, wenn er orthogonal auf allen Elementen des UVRs steht.

Die Elemente des Spans bzw. der linearen Hülle (ist ein UVR!) sind gerade die Linearkombinationen von $p_0, p_1, p_2$.

Zeige für $i=0,1,2$ dass $\gamma(p_3, p_i)=0$ und folgere, dass  $$\forall a,b,c\in\mathbb{R}: \gamma(p_3, ap_0+bp_1+cp_2)=0$$ Dabei soll $$\gamma(f,g)=\int_{-1}^1 f(x)g(x)x^2~\textrm{d}x$$ sein.

Comments

Vielen Dank erstmal! Also der erste schritt ist mir klar, aber wie folgere ich dass (3,0+1+2)=0 gilt? Mache ich das ohne zu rechnen bzw. zu integrieren?

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Ja, Skalarprodukte sind linear in beiden Argumenten (#Bilinearform), ziehe es also einfach auseinander.

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Ich verstehe das leider nicht ganz, könntest du mir das zeigen?

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$$\gamma(p_3, ap_0+bp_1+cp_2) =a \gamma(p_3, p_0) +b\gamma(p_3, p_1)+c\gamma(p_3, p_2)$$