Hallo,
die Problemstelle ist hier ja offensichtlich \((x,y)=(0,0)\), da wir dann eine \(\frac{0}{0}\)-Situation haben:$$\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\arctan \left(\exp \left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)\right)$$ können wir mit Polarkoordinanten umformulieren zu$$\lim\limits_{r\to 0}\arctan \left(\exp \left(\frac{1}{r^2}\right)\right) \overset{(*)}=\arctan \left(\lim\limits_{r\to 0}\exp \left(\frac{1}{r^2}\right)\right)=\arctan(\infty)=\frac{\pi}{4}$$
\((*)\) ist stetig, daher ist es möglich, den Limes in die Funktion "hineinzuziehen".
Du kannst also \(f\) stetig fortsetzen durch$$f^*(x,y)=\begin{cases}\arctan \left(\exp \left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)\right) \, \text{für } (x,y)\neq (0,0) \\ \frac{\pi}{4} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, \text{ für } (x,y)=(0,0)\end{cases}$$
