Aloha :)
Die Fläche \(S=\{(x,y)\,:\,0\le x^2+y^2\le1\}\) ist eine Kreisscheibe mit dem Radius \(R=1\) und der Fläche \(F=\pi\,R^2=\pi\). Daher wählen wir zur Integration Polarkkoordinaten$$\binom{x}{y}=\binom{r\,\cos\varphi}{r\,\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;1]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi[\quad;\quad dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$$und erhalten als Durchschnittstemperatur$$\langle T\rangle=\frac{1}{F}\int\limits_F T(x,y)\,dx\,dy=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^1\,dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\,r\,\sqrt{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi}$$$$\phantom{\langle T\rangle}=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^1\,r^2\,dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi=\frac{1}{\pi}\left[\frac{r^3}{3}\right]_0^1\left[\varphi\right]_0^{2\pi}=\frac{1}{\pi}\,\frac{1}{3}\,2\pi=\frac{2}{3}$$
