Textaufgabe zu Funktionen höheren Grades

Question

Um den Verkehrsfluss vor einer neu eingerichteten Autobahnbaustelle durch Ausschilderung alternativer Routen zu verbessern wird die Staubildung für zwölf Stunden eines Tages in Fahrtrichtung Süd gemessen. Die Messung beginnt um 6 Uhr (t=0) und endet um 18 Uhr (t=12). Die Staventwicklung lässt sich für den genannten Zeitraum annähernd durch die Funktion \( f(t)=0,05 t^{2}-0,8 t^{2}+3,2 t, 0 \leq t \leq 12 \) modellieren, wobei t die Stunden seit Beginn der Aufzeichnung und f(t) die Staulänge in km beschreibt. Der Graph der Funktion ist unten abgebildet.

Tipp: Beachte für deinen Lösungsweg: um 6 Uhr ist t=0.

a) Beschreibe den Verlauf der Funktionsgraphen im Sachzusammenhang.

b) Berechne die Staulänge um 7 Uhr.

c) In den halbstündigen Verkehrsmeldungen im Radio werden die Staus über \( 3 \mathrm{km} \) Länge gemeldet. Ermittle rechnerisch, zu welchen Zeiten der hier untersuchte Stau im Radio gemeldet werden müsste.

d) Ermittle rechnerisch, wann sich der Stau im beobachteten Zeitraum aufgelöst hat.

Ansätze:

zu a) Der längste beobachtete Stau ist ab 8 Uhr

zu b) ich setze für t in der Funktion 7 ein. = 0,35 km um 7 Uhr

zu c) Vielleicht für f(t) 3 einsetzen und auflösen?

Answer 1

f(x) = 0.05·x^3 - 0.8·x^2 + 3.2·x

b) f(7) = 0.35 km

c) f(x) = 3
x = 1.361466438 = 1 h 21 min
Der Stau würde um 7:30 Uhr gemeldet werden

d) f(x) = 0
x = 8

Um 14 Uhr hat sich der Stau aufgelöst.

Comments

Rechnung zu c)

0.05·x³ - 0.8·x² + 3.2·x = 3
0.05·x³ - 0.8·x² + 3.2·x - 3 = 0

Das ist eine Kubische Gleichung. Da wir keine ganzzahlige Nullstelle finden müssen wir das ganze über ein Näherungsverfahren machen.

Über eine Wertetabelle im halbstundenintervall bekommst du

[0, 0;
0.5, 1.40625;
1, 2.45;
1.5, 3.16875;
2, 3.6;
2.5, 3.78125;
3, 3.75;
3.5, 3.54375;
4, 3.2;
4.5, 2.75625;
5, 2.25;
5.5, 1.71875;
6, 1.2;
6.5, 0.73125;
7, 0.35;
7.5, 0.09375;
8, 0]

In den Nachrichten nach 1.5 Stunden sollte die Staulänge bekannt gegeben werden. Man kann Funktionen dritten Grades aber auch mit dem Taschenrechner oder Newtonverfahren lösen. Hier langt aber die Wertetabelle.

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ich habe genau den taschenrechner auf deinem profilbild

eingabe: /Mode/5/4


bei x3=1.361466438 aber wo steht bei meinem taschenrechner 1,5?

und warum ist x3 richtig und nicht x2 oder x1?

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Auf dem TR steht x = 1.361466438.

Das wären 1 Stunde 21 Minuten wie oben in meiner Lösung angegeben. Gemeldet wird der Stau aber erst 1.5 h Später in den 7:30 Uhr Verkehrsmeldungen.

Wenn du den Graphen anschaust stimmt 1.361466438. Aber der TR bestimmt halt alle Werte wo der Funktionswert genau 3 beträgt.

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spuckt der taschenrechner bei dir auch 3 x-werte aus?

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Ja. 10.4; 4.2 und 1.4

Wie gesagt. Am Graphen erkennt man schon was sinnvoll ist.

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wie kommst du von 1,36 auf 1h21 min.?

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1.36 h = 1 h + 0.36 h = 1 h 0.36*60 min = 1 h 21.6 min