Unbestimmte Integration durch Substitution (inverse Substitution)

Question

Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter

Es geht um das Integral: ∫x⁷/√(81-x²)  dx

Das soll nun mittels inverser Substitution durch die Verwendung von x(u)=9*sin(u) vereinfacht werden. Das Ergebnis ist

∫(9⁷*sin(u)⁷)du

Nun lautet die nächste Aufgabe, dass man nun dieses Integral durch (direkte) Substitution v=v(u) vereinfachen und integrieren soll. Als Hinweis ist gegeben, dass man cos²(u)+sin²(u)=1 verwenden soll.

Bedauerlicherweise habe ich keinen Ansatz, da es schon beim Verständnis der Aufgabe hängt. Das Prinzip der direkten Substitution ist mir jedoch geläufig, genau so wie das Prinzip des Integrierens.

!

Answer 1

Hallo,

Ich denke, die Aufgabe lautet so:

∫ x^7/(√(81-x^2)) dx

x(u)=9*sin(u)  ist ja vorgegeben

dx/du= 9 cos (u)

dx= 9 cos(u) *du

eingesetzt in das Integral:

= ∫(9^7 sin^7(u) *9 *cos(u) du )/(√81 -81 sin^2(u))

=∫ (9^7 sin^7(u) *9 *cos(u) du )/(√81(1 - sin^2(u)) → cos^2(u)= 1 -sin^2(u) --------->dann kürzen

= ∫9^7 sin^7(u) du

dann weiter:

sin^2(u) +cos^2(u)=1

sin^2(u)= 1 -cos^2(u)

------->

sin^7(u)= sin^2(u) * sin^2(u)  * sin^2(u)  *sin(u)

sin^7(u)= (1 -cos^2(u))^3 *sin(u)

Substituiere t= cos(u)

dt/du= -sin(u) → du= dt/(-sin(u))

eingesetzt:

-------->=9^7 ⌋ (1 -cos^2(u))^3 *sin(u) dt/(-sin(u))

= - 9^7 ⌋ (1 -t^2)^3 dt

= - 9^7 ⌋ (-t^6 + 3 t^4 - 3 t^2 + 1) dt

=  9^7 ⌋ (t^6 -3 t^4 +3 t^2 -1) dt

=9^7 (t^7/7 - (3 t^5)/5 +t^3 -t)+C

usw. Rücksubstituieren nicht vergessen

Comments

D.h die Antwort wäre dann:

S(9⁷(cos(u)⁶-3cos(u)⁴+3cos(u)²-1)

oder integriert: 9⁷((cos(u)⁷/7)-(3cos(u)⁵/5)+cos(u)³-cos(u))

richtig?

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Ja

+C nicht vergessen, Jetzt mußt Du nochmal Rücksubstituieren

x= 9 sin(u) , Du mußt ja auf x kommen.

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okay, vielen Dank!