Partielle Integration mit eulsche Zahl

Question

Aufgabe:

Partielle Integratrion anwenden:

x * e^x / (1+x)^2

Problem/Ansatz:

Partielle Integratrion anwenden:

u' = 1/(x+1)^2  v= xe^x

u = - 1/x+1 v' = (x+1)e^x

Meine Überlegung:

- 1/(x+1) * xe^x - [-1/x+1 * (x+1)e^x]

Dieser zweite Integral gibt mit folgendes: [-1/x+1 * (x+1)e^x] -> Man kann x+1 kürzen und hat dann -e^x

am Schluss bekomme ich dann -> -1/(x+1) * xe^x + e^x

Stimm das?

Answer 1

Aloha :)

Partielle Integration führt hier zu einer fummeligen Lösung. Einfacher geht es so:$$\int \frac{xe^x}{(1+x)^2}dx=\int\frac{xe^x+e^x-e^x}{(1+x)^2}\,dx=\int\frac{(x+1)e^x-e^x}{(1+x)^2}\,dx$$$$=\int\left(\frac{(x+1)e^x}{(1+x)^2}-\frac{e^x}{(1+x)^2}\right)dx=\int\left(\frac{e^x}{1+x}-\frac{e^x}{(1+x)^2}\right)dx$$$$=\int e^x\left(\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}\right)dx$$Dieses Integral ist von der Form$$\int e^x\left(f(x)+f'(x)\right)dx=e^x\cdot f(x)+\text{const}\quad\text{mit}\quad f(x)=\frac{1}{1+x}$$Du müsstest daher auf folgende Lösung kommen:$$\int\frac{xe^x}{(1+x)^2}\,dx=\frac{e^x}{1+x}+\text{const}$$

Answer 2

Wenn du glaubst, eine passende Stammfunktion erhalten zu haben: Leite sie ab!

Wenn du als Ableitung x * e^x / (1+x)² erhältst, war dein Ergebnis richtig, anderenfalls nicht.