Hallo Daniel,
das ist eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung. Die Nebenbedingung ist in diesem Fall das Rechteck \(D=[0,2\pi]\times [0,2\pi ]\subset \mathbb{R}\). Ich habe \(f\) hier mit auf dem interessanten Definitionsbereich \(D\) (in grün) dargestellt.
Du untersuchst zum einen das Innere \(D^{\circ}\) vom Definitionsbereich - das machst du wie gewohnt ohne Beachtung des Definitionsbereichs. Also:$$\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix} -\sin(x)\sin(y)\\\cos(x)\cos(y) \end{pmatrix}\overset{!}{=}\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases}-\sin(x)\sin(y)=0 \\ \cos(x)\cos(y)=0\end{cases}$$ Hier wendest du den Satz vom Nulprodukt an. Es ist nämlich \(-\sin(x)\sin(y)=0 \Leftrightarrow \sin(x) \, \vee \sin(y)=0\). Hierbei ist \(\sin(x)=0 \Leftrightarrow x_1=k\pi\) mit \(k\in \mathbb{Z}\). Analog folgt, dass \(y_1=k\pi\), ebenfalls mit \(k\in \mathbb{Z}\). Nun analog mit \(\cos(x)\cos(y)=0 \Leftrightarrow \cos(x)=0 \, \vee \, \cos(y)=0\) und das gilt genau dann, wenn \(x_2=(k+0.5)\pi\) bzw. \(y_2=(k+0.5)\pi\).
Du musst nun auf den Definitionsbereich achten und geeignete Punkte wählen. In Frage kommen z. B. \((0,\pi /2), (\pi.1.5\pi), (\pi,0.5\pi)\).
Um den Rand von \(D\) zu untersuchen, nimmst du dir die Eckpunkte von \(D\), also \((0,0), (0,2\pi),(2\pi,2\pi), (2\pi, 0)\), und verbindest diese zu einer Gerade, die du in \(f\) einsetzt. Das ist dann eine Funktion mit einer Variable, die du auch separat auf Extrema untersuchen musst.
