Orthogonale Matrix bestimmen.

Question

Aufgabe:

Man bestimme fur die Matrix

$$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

eine orthogonale Matrix $$S$$, so dass $$S^{T}AS$$ eine Diagonalmatrix ist und
mache die Probe.

Vielen Dank für jegliche Hilfe

Answer 1

Hey MatheGuy,

Die Matrix \(S\) besteht aus den orthogonalisierten Eigenvektoren der Matrix \(A\). Die Diagonalmatrix hat dann die zugehörigen Eigenwerte auf der Hauptdiagonale stehen.

Da die Matrix \(A\) symmetrisch ist, stehen die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten bereits automatisch senkrecht aufeinander.

Problem macht nur der doppelte Eigenwert 3. Die dazugehörigen Eigenvektoren stehen nicht senkrecht aufeinander. Die musst du noch mit dem Gram-Schmidtschen-Orthogonalisierungsverfahren orthogonalisieren.

Wichtig noch: Alle Eigenvektoren müssen normiert werden. Das liegt daran, dass nicht nur gefordert wird \(D=S^{-1}AS\), sondern \(D=S^\top AS\). Also \(S^{-1}=S^\top\), das heißt \(S\) ist eine orthogonale Matrix, alle Spalten-/Zeilenvektoren müssen die Länge 1 haben. Dieser Zusatz ist dafür verantwortlich, dass du die EV noch normieren musst.

Viel Spaß
MathePeter

Comments

Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren ist keineswegs notwendig.

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Vielen Dank!

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Wenn du die beiden Eigenvektoren zu dem Eigenwert 3 auch anders orthogonalisiert bekommst als durch Gram-Schmidt, dann nur zu. Nur orthogonal müssen sie gemacht werden, weil das in der Aufgabe steht: "eine orthogonale Matrix \(S\)".