Bestimmen sie für z = ∠ \frac{6π}{7} € ℂ alle Elemente der Menge M = { z^{n} | n € ℕ}.

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie für z = ∠\( \frac{6π}{7} \) € ℂ alle Elemente der Menge M = { \( z^{n} \) | n € ℕ}. Fertigen Sie außerdem eine Zeichnung dieser Elemente in der Gauß'schen Zahlenebene an.

Problem/Ansatz:

Also das erste was ich sehe ist, das es keinen Realanteil gibt.

Rechnen würde ich jetzt:

z^{x}= 1 * ( cos(\( \frac{1π}{2} \)) + i * sin(x * (\( \frac{6π}{7} \)))

cos(\( \frac{1π}{2} \)) weil es keinen Realanteil gibt und Cos bei \( \frac{1π}{2} \)  = 0 ist.

i * sin(x * (\( \frac{6π}{7} \)) nach dem Satz von Moivre. Setzte ich ein paar Zahlen für x ein sehe ich das sin() bei x = 7 0 wird und sich alles wiederholt, d.h.  x = 1 & x = 8 ist gleich, x = 2 & x = 9 ist gleich usw.

Da in einer Menge jede Zahl nur einmal enthalten ist, sind die Zahlen von \( z^{n} \)für  n = 1-7 in der Menge enthalten.

In der Gauß'schen Zahlenebene wären das alles nur Punkte auf der Imaginär Achse.

Meine Frage:

Ist das richtig und wie schreibe ich die Zahlen in einer Menge auf? Will er einfach nur wissen das \( z^{n} \) für n = 1-7 in der Menge enthalten sind`?

Comments

Hallo,

Du hast in der Aufgabenstellung z mit einer (mir) unbekannten Notation aufgeschrieben (sieht aus wie ein Winkel). Diese Notation muss definiert sein. Ich vermute, dass sie anders definiert ist, als Du sie verwendest, nämlich eher so:

$$z= \cos(\frac{6 \pi}{7})+ i \sin(\frac{6 \pi}{7})$$

Auch in diesem Fall würde man Moivre verwenden.

Gruß

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Bei uns ist das als Versorform definiert.

x ∠ y*π = x * ( cos (  y*π ) + i*sin( y*π )

Aber ist die Idee richtig und wie schreibe ich das Ergebnis auf?

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Kommentar zur Antwort gemacht

lul

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Kann die Frage irgendwie nicht schließen

Answer 1

Hallo
wie du mit z = ∠6π/7 auf nur Imaginärteil kommst ist unklar. nach deiner Definition fehlt das x also nahm ich an es ist 1. wenn es nicht 1 ist wiederholt sich auch nichts nach n=7, denn dannstünde da ja (i*0.43 )^n und das würde eine Art Spirale, immer auf den Achsen nach innen geben,
also nehmen wir den Vorschlag von Lars, zeichne z in dem Winkel ein, dann nacheinander z^2, z^3 indem du den Winkel verdoppelst , verdreifachst usw  bis du wieder am Anfang  ankommst, alle Punkte liegen auf dem Einheitskreis und bilden ein Siebeneckig die Menge musst du wohl sowohl einzeichnen, wie auch aufzählen.
Gruß lul

Answer 2

Die Frage ist in den Kommentaren beantwortet worden.  Lars möchte sie gerne schließen, kann sich aber als Fragesteller nicht selber eine Antwort geben.  Dann mache ich das, damit die Frage nicht länger als „offen“ angezeigt wird.