Banachscher Fixpunktsatz berechnen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Selbstabbildung \( f:[-1,1]^{2} \rightarrow[-1,1]^{2} \) mit
$$ f(x, y)=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{c} 5 x-5 y^{2} \\ -x^{2}+y-8 \end{array}\right) $$
Ob der Banach'sche Fixpunktsatz garantiert, dass \( f \) auf dem abgeschlossenen Gebiet \( [-1,1]^{2} \) einen eindeutigen Fixpunkt \( \boldsymbol{a}^{*} \) besitzt, gegen welchen die Fixpunktiteration \( \boldsymbol{a}_{n+1}:=f\left(\boldsymbol{a}_{n}\right) \) konvergiert (mit beliebiger Initialisierung \( \boldsymbol{a}_{0} \in[-1,1]^{2} \) ), hängt davon ab, ob \( f \) eine Kontraktion ist. Wir betrachten dazu die Summennorm \( \left\|(x, y)^{\top}\right\|_{1}:=|x|+|y| \)
(Geben Sie im Folgenden Dezimalbrüche durch ein Komma getrennt ein.)
: Bestimmen Sie die kleinstmögliche Lipschitz-Konstante \( L \) von \( f \) bzgl. \( \|\cdot\|_{1} \)

Problem/Ansatz:

weiß jemand die Lösung? ich komme einfach nicht drauf

Answer 1

Also \(D=[-1,1]^2=[-1,1]\times [-1,1]\) ist abgeschlossen. Um zu zeigen, dass \(f\) eine kontrahierende Selbstabbildung ist, müssen wir Zweierlei zeigen:

1) \(f\) ist eine Selbstabbildung

Dafür müssen wir zeigen, dass für alle \((x,y)\in [-1,1]\times [-1,1]\) gilt, dass \(f(x,y)\in [-1,1]\times [-1,1]\). Sei also \(-1\leq x \leq 1\) und \(-1\leq y\leq 1\). Dann gilt:$$f_1(x,y)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y^2\leq \frac{1}{2}\cdot 1 -\frac{1}{2}\cdot 1^2=1$$ usw. usf. (du wirst bemerken, dass das stimmt).

2) \(f\) ist eine Kontraktion

Tipp: Verwende den Schrankensatz$$||f(a)-f(b)||\leq \max_{\xi \in [-1,1]^{2}}||f'(\xi)||_\infty ||a-b||_\infty$$ Hierbei \(\max_{\xi \in [-1,1]^{2}}||f'(\xi)||_\infty\) ist Zeilensummennorm der Ableitungsmatrix. Die Jacobimatrix ist \(J_f(x,y)=\frac{1}{10}\begin{pmatrix} 5 & -10y \\ -2x & 1 \end{pmatrix}\).

Comments

$$f_1(x,y)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y^2\geq \frac{1}{2}\cdot 1 -\frac{1}{2}\cdot 1^2=1$$

Müsste nicht

$$f_1(x,y)<=1$$

gelten?

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Jap, war auch gemeint. Der Fragesteller muss noch f_1(x,y)>=-1 und f_2(x,y)>=-1 und f_2(x,y)<=1 zeigen.