Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (eulerschen Multiplikators)

Question

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

(t^2 − y) + ty' = 0

mit Hilfe eines eulerschen Multiplikators.

Answer 1

Hallo,

(t^2 -y) + t y' =0

(t^2-y) dt + t dy=0

P= t^2 -y

Q=t

Es muß die Integrabilitätsbedingung erfüült sein: P_y =Q_t

Py= -1

Qt=1

->-1 ≠ 1 --------->Eulersche Multiplikator wird benötigt ->μ =1/t^2

---------->Multiplizieren der DGL mit dem Faktor ->DGL ist nun exakt

(1 -y/t^2)dt +dy/t =0

F(t,y)= ∫ P(t,y) dt= ∫ ((1 -y/t^2) dt= t +y/t +φ(y)

1/t +φ' (y)=1/t =Q

φ' (y)=0

φ (y)=0

--------->

F(t,y)=t+y/t +0

--------->

t+y/t=C

y= -t^2+C t

.