Konvergenzradius bestimmen und rechenschritte bite?

Question

Konvergenradius bestimmen

Summe(k=1, infinity) (k²)/(k-1)! * z^(k)

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k hoch 2 }{(k-1)!}} \)

kann mir wer bitte schritt für schritt erklären

wie man das löst?

Vielen Dank

Answer 1

Nimm die Formel mit dem Grenzwert von

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konvergenzradius

Das gibt a_k / a_k+1 =  (k^2 * k!  )/  (  (k-1)! * (k+1)^2

kürzen gibt

    k^2 * k /  (k+1) ^2  und das geht für k gegen unendlich

auch gegen unendlich, also ist der Konvergenzradius r=∞

Comments

also in der Lösung steht gegen 0

aber wichtiger als, das ist für mich der rechenschritt

undzwar wie man vorgeht.

Das gibt ak / ak+1 =  (k2 * k!  )/  (  (k-1)! * (k+1)2

dasselbe steht in der lösung zwar auch aber nenner und zähler sind vertauscht

(weshalb du wahrscheinlich gegen unendlich rausbekommen hast statt gegen 0)

aber ich komme nicht darauf wie man darauf kommt.

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Es wird häufig der Kehrwert a_k+1 / a_k betrachtet und

das ist aber dann 1/r . Also hast du das gleiche Ergebnis.

Herleitung findest du dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Quotientenkriterium

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also bis zu einem punkt bin ich noch klar gekommen

aber sonst komme ich leider nicht weiter

also  I(an+1)/an)I soll es ja sein

dann habe ich

(k+1)^2 / (k-1)!(k+1)

ist das aber wirklich richtig so?

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achso nein

ich rudere zurück

ich glaube ich habe kiemen!

also   I(an+1)/an)I habe ich einfach nur falsch angewendet^^

[(k+1)^2/(k-1+1)!]/[(k^2)/(k-1)!]

muss es lauten also

(k+1)^2(k-1)! / (k!k^2)

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kannst du mir bitte ab hier den kürzen part nochmal erklären?

da komme ich nicht ganz mit^^

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(k+1)^2(k-1)! / (k!k^2)

kürzen mit (k-1)!. Da bleibt unten nur ein k übrig.

= (k+1)^2 / (k*k^2)

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das mit dem kürzen

genau da hänge ich ja

wenn ich kürze bleibt da noch

(k+1)^2(k-1)! / k!k^2  =>  umgeformt

(k+1)^2(k-1)k! / k!k^2

(k+1)^2(k-1)/ k^2

was mache ich falsch?

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Da hast du dich vertan, es ist

k! = (k-1)! * k

wegen   k ! = 1*2*3*...*(k-1) * k

und (k-1)! = 1*2*3*...*(k-1)

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Vielen Dank

Jetzt verstehe ich wo mein fehler war :)