Integralsatz von Stokes

Question

Hallo MatheLounge Community,

ich prüfe den Integralsatz von Stokes

$$ \int_{Rand von A}^{} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{}^{}\int_{A}^{}rot \vec{F} \cdot d\vec A $$ 

am Beispiel

$$ \vec F = \begin{pmatrix} \sqrt{x^2 + y^2} \\ y (xy+ln(x+\sqrt{x^2 + y^2}))\\ z \end{pmatrix} $$

und dem Einheitskreis A

$$ x^2 + y^2 \leq 1 $$

$$ z = 0 $$

Hierbei habe ich

$$ \int_{Rand von A}^{} \vec{F} \cdot d\vec{r} $$ 

zu π/4 berechnet und

$$ \int_{}^{}\int_{A}^{}rot \vec{F} \cdot d\vec A $$

zu –π/6.

Beide Ergebnisse müssten aber gleich sein.

Könnt ihr mir bitte sagen, welches dieser beiden Ergebnisse richtig ist?  Dann kann ich gezielter nach meinem Fehler suchen.  Ich habe alles schon mehrmals durchgerechnet.  Vielen Dank!!!

Hier geht es um den Integralsatz von Stokes.  Siehe auch Integralsatz von Gauß:

https://www.mathelounge.de/740082/divergenzsatz-zeigen-an-einem-beispiel

Comments

Hallo,

Ihr habt aber auch Integrale!

Noch eine Frage: Was ist A?

Gruß

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δA ist der Einheitskreis

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Hallo Peter, ja, meine Beispiele sind durchaus nicht-trivial.  -  Danke für den Hinweis.  Ich werde in der Aufgabe präzisieren, was A ist.

Answer 1

Hallo,

ich habe beides durchgerechnet und erhalte zweimal π/4 als Ergebnis.

Hier die Skizze meines Rechenwegs für das Flächenintegral:

$$\vec{r}(r,\varphi)=r\begin{pmatrix} cos(\varphi)\\sin(\varphi)\\0 \end{pmatrix}\\ d\vec{A}=e_z dA=e_z rdrd\varphi\\ rot\vec{F}=e_z y^2=e_z r^2sin^2(\varphi)\\ \int_{A} rot\vec{F}d\vec{A}=\int_{A}<e_z ,e_z> r^2sin^2(\varphi) rdrd\varphi\\ =\int_{0}^{2\pi}sin^2(\varphi)d\varphi\int_{0}^{1}r^3dr=\pi \cdot\frac{1}{4}$$

Comments

Hallo Gastjc, vielen Dank für deine Hilfe!  Ich hatte beim Integrieren gleich zwei Fehler gemacht.  Jetzt kann ich wieder ruhig schlafen.  Vielen Dank!!!