Vollständige Induktion: ∑ (k = 1 bis n) (qk) = (q - qn + 1) / (1 - q)

Question

$\sum \limits_{k=1}^{n} q^{k}=\frac{q-q^{n+1}}{1-q}$

q ∈ ℝ \ {1}

weiß jemand wie man diese Aufgabe mittels einer vollständigen Induktion löst?

Vielen dank.

Answer 1

Zu zeigen:

∑ (k = 1 bis n) (q^k) = q·(qⁿ - 1)/(q - 1)

Induktionsanfang: n = 1

∑ (k = 1 bis 1) (q^k) = q·(q¹ - 1)/(q - 1)
q = q·(q - 1)/(q - 1)
wahr

Induktionsschritt: n → n + 1

∑ (k = 1 bis n + 1) (q^k) = q·(q^(n + 1) - 1)/(q - 1)
∑ (k = 1 bis n) (q^k) + q^(n + 1) = q·(q^(n + 1) - 1)/(q - 1)
q·(qⁿ - 1)/(q - 1) + q^(n + 1) = q·(q^(n + 1) - 1)/(q - 1)
(qⁿ - 1)/(q - 1) + qⁿ = (q^(n + 1) - 1)/(q - 1)
(qⁿ - 1)/(q - 1) + (q^(n + 1) - qⁿ)/(q - 1) = (q^(n + 1) - 1)/(q - 1)
(qⁿ - 1 + q^(n + 1) - qⁿ)/(q - 1) = (q^(n + 1) - 1)/(q - 1)
(q^(n + 1) - 1)/(q - 1) = (q^(n + 1) - 1)/(q - 1)
wahr

Comments

Gibt es dafür ein online Tool? oder warum ging das so schnell?

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Lol, das ging so schnell, weil diese oder eine sehr ähnliche Frage hier mindestens alle 2 Wochen ein Mal gestellt wird ;)

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Kurze Frage:

Ich versuche gerade, deine Antwort nachzuvollziehen, verstehe aber nicht, wieso du

∑ (k = 1 bis n) (q^k) = q·(qⁿ - 1)/(q - 1)

hast, anstatt

∑ (k = 1 bis n) (q^k) = q·(qn - 1)/(1 - q)

Auch verstehe ich den Schritt nicht, wo du

∑ (k = 1 bis n) (q^k) = q - q^(n + 1) /(1 - q) 

umstellst zu

∑ (k = 1 bis n) (q^k) = q·(qⁿ - 1)/(q - 1)

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Ich habe es nur so notiert wie es schöner notiert aussieht.

(q - q^{n + 1}) / (1 - q)
= q·(1 - qⁿ) / (1 - q)
= q·(qⁿ - 1) / (q - 1)

Weil q ja meist >1 gilt ist dann z.B. q - 1 auch ein positiver Wert.

Answer 2

Für n=1 hast du q¹ = (q-q²)/(1-q)

Zeige durch Umformen, dass das stimmt.

Wenn es für ein n gilt, dann bleibt zu zeigen

$$\sum \limits_{k=1}^{n+1}q^k =\frac{q-q^{n+2}}{1-q}$$

Das geht so:

$$\sum \limits_{k=1}^{n+1}q^k =\frac{q-q^{n+2}}{1-q}$$

$$\sum \limits_{k=1}^{n}q^k + q^{n+1}$$

Mit der Induktionsannahme gibt das

$$=\frac{q-q^{n+1}}{1-q}+ q^{n+1}$$

gemeinsamer Nenner

$$=\frac{q-q^{n+1}}{1-q}+ \frac{(1-q)*q^{n+1}}{1-q}$$

$$=\frac{q-q^{n+1}}{1-q}+ \frac{q^{n+1}-q^{n+2}}{1-q}$$

$$=\frac{q-q^{n+2}}{1-q}$$ q.e.d.

Answer 3

$\begin{aligned} & \phantom{=}\sum\limits_{k=1}^{n+1}q^{k}\\ & =q^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n+1}q^{k}\\ & =q^{n+1}+\frac{q-q^{n+1}}{1-q}\\ & =\frac{\left(1-q\right)q^{n+1}}{1-q}+\frac{q-q^{n+1}}{1-q}\\ & =\frac{q^{n+1}-q^{n+2}+q-q^{n+1}}{1-q}\\ & =\frac{q-q^{n+2}}{1-q} \end{aligned}$