2 Ebenen aufstellen mit Winkel und Abstand zu gemeinsamen Punkt

Question

Aufgabe:

Konstruieren Sie zwei Ebenen E₁ und E_{2 ,} die sich in einem Winkel von 45° schneiden und jeweils den Abstand d=5 zum Punkt P = (-10, -20, 15) haben. Geben Sie die Ebenen in der Koordinatendarstellung an.

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht wie man an die Aufgabe logisch ran gehen kann, vielleicht kann mit jemand helfen.

Viele Dank schonmal :)

Answer 1

Hallo Lalelu,

Du könntest damit anfangen, eine Ebene \(E_1\) zu definieren, die von \(P\) den gewünschten Abstand hat. Zum Beispiel:$$E_1: \space \begin{pmatrix} 0\\0\\ 1 \end{pmatrix} x = 15- d = 10$$Für die zweite Ebene benötigst Du einen Vektor, der mit dem Normalenvektor von \(E-1\) einen Winkel von 45° einschließt - z.B.:$$n_2= \frac 12 \sqrt 2\begin{pmatrix} 0\\1\\ 1 \end{pmatrix} $$Ich habe ihn bereits so gewählt, dass \(|n_2| = 1\) ist. Ist bei \(E_2\) der konstante Anteil der Hessseschen Normalform \(d_2\), dann ist der Abstand zu \(P\):$$\begin{aligned} E_2: \space n_2 x - d_2 &= 0 \\  n_2 P - d_2 &= d \\ \implies d_2 &= n_2 P - d \\&=  \frac 12 \sqrt 2\begin{pmatrix} 0\\1\\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -10\\ -20\\ 15\end{pmatrix} - 5 \\&= - \frac 52 \sqrt 2 - 5\end{aligned}$$Also ist \(E_2\):$$E_2: \space \frac 12 \sqrt 2\begin{pmatrix} 0\\1\\ 1 \end{pmatrix}  x =  - \frac 52 \sqrt 2 - 5$$Im Bild sieht das so aus:

(klick auf das Bild! Du musst die Szene etwas rotieren, um die Ebenen zu sehen!)

Comments

Erst mal vielen vielen Dank :)

Ich hab noch eine kleine Frage:

Wäre es auch richtig wenn ich für n₂ den Vektor

0

0

(√2)/2

nehmen würde und dann die Ebenengleichung 2 so lauten würde: 0x + 0y + (√2)/2 = ((15√2)/2) - 5 ?

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Nein - nicht in Kombination mit einem \(n_1\), der auch in Z-Richtung zeigt. So lägen ja beide Ebenen parallel.

Es gibt natürlich unendlich viele Möglichkeiten für die beiden Ebenen. Notwendig ist in jedem Fall, dass$$ n_1 \cdot n_2 = |n_1| \cdot |n_2| \cdot \cos(45°)$$ und $$\cos(45°) =  \frac 12 \sqrt 2$$

Die Gleichung von \(E_2\) kannst Du z.B. so umformen:$$\begin{aligned} E_2: \space \frac 12 \sqrt 2\begin{pmatrix} 0\\1\\ 1 \end{pmatrix}  x &=  - \frac 52 \sqrt 2 - 5 \\ \frac 12 \sqrt 2\, y + \frac 12 \sqrt 2\, z &= - \frac 52 \sqrt 2 - 5 && \left|\, \cdot \sqrt 2 \right. \\ y + z &= -5 - 5 \sqrt 2\end{aligned}$$

Answer 2

1. Zeichne eine Gerade d durch P.
2. Zeichne einen Kreis k um P mit Radius 5, der die Gerade d schneidet.
3. Zeichne eine Gerade p durch P, die den Kreis k schneidet und zu d einen Winkel von 67,5° hat.
4. Schnittpunkt der Geraden p und des Kreises k sei Q.
5. Zeichne die Gerade q durch Q, die die Gerade d schneidet und senkrecht zur Geraden p ist.
6. Schnittpunkt der Geraden q und d sei R.
7. Spiegel das Dreieck PQR an der Geraden d.
8. Der Bildpunkt von Q bei der Spiegelung sei S.

Das Viereck PQRS hat einen 45°-Winkel bei R und rechte Winkel bei Q und S.

Zeichne die Gerade n durch R, die senkrecht zu den Geraden d und p ist.

n ist die Schnittgerade der Ebenen

E₁ wird durch die Geraden p und n aufgespannt.

E₂ wird durch die Geraden RS und n aufgespannt.

Um die Berechnungen einfach zu halten, bietet es sich an, in Schritt 1 die Gerade so zu wählen, dass sie parallel zu einer der Koordinatenachsen verläuft. Dann hat man bis Schritt 8 im Wesentlichen ein zweidimensionales Problem, anstatt sich um 3 Koordinaten kümmern zu müssen.