0 Daumen
538 Aufrufe

Aufgabe:

Konstruieren Sie zwei Ebenen E1 und E2 , die sich in einem Winkel von 45° schneiden und jeweils den Abstand d=5 zum Punkt P = (-10, -20, 15) haben. Geben Sie die Ebenen in der Koordinatendarstellung an.


Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht wie man an die Aufgabe logisch ran gehen kann, vielleicht kann mit jemand helfen.


Viele Dank schonmal :)

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo Lalelu,

Du könntest damit anfangen, eine Ebene E1E_1 zu definieren, die von PP den gewünschten Abstand hat. Zum Beispiel:E1 :  (001)x=15d=10E_1: \space \begin{pmatrix} 0\\0\\ 1 \end{pmatrix} x = 15- d = 10Für die zweite Ebene benötigst Du einen Vektor, der mit dem Normalenvektor von E1E-1 einen Winkel von 45° einschließt - z.B.:n2=122(011)n_2= \frac 12 \sqrt 2\begin{pmatrix} 0\\1\\ 1 \end{pmatrix} Ich habe ihn bereits so gewählt, dass n2=1|n_2| = 1 ist. Ist bei E2E_2 der konstante Anteil der Hessseschen Normalform d2d_2, dann ist der Abstand zu PP:E2 :  n2xd2=0n2Pd2=d    d2=n2Pd=122(011)(102015)5=5225\begin{aligned} E_2: \space n_2 x - d_2 &= 0 \\ n_2 P - d_2 &= d \\ \implies d_2 &= n_2 P - d \\&= \frac 12 \sqrt 2\begin{pmatrix} 0\\1\\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -10\\ -20\\ 15\end{pmatrix} - 5 \\&= - \frac 52 \sqrt 2 - 5\end{aligned}Also ist E2E_2:E2 :  122(011)x=5225E_2: \space \frac 12 \sqrt 2\begin{pmatrix} 0\\1\\ 1 \end{pmatrix} x = - \frac 52 \sqrt 2 - 5Im Bild sieht das so aus:

blob.png

(klick auf das Bild! Du musst die Szene etwas rotieren, um die Ebenen zu sehen!)

Avatar von 49 k

Erst mal vielen vielen Dank :)

Ich hab noch eine kleine Frage:

Wäre es auch richtig wenn ich für n2 den Vektor

0
0
(√2)/2

nehmen würde und dann die Ebenengleichung 2 so lauten würde: 0x + 0y + (√2)/2 = ((15√2)/2) - 5 ?

Nein - nicht in Kombination mit einem n1n_1, der auch in Z-Richtung zeigt. So lägen ja beide Ebenen parallel.

Es gibt natürlich unendlich viele Möglichkeiten für die beiden Ebenen. Notwendig ist in jedem Fall, dassn1n2=n1n2cos(45°) n_1 \cdot n_2 = |n_1| \cdot |n_2| \cdot \cos(45°) und cos(45°)=122\cos(45°) = \frac 12 \sqrt 2

Die Gleichung von E2E_2 kannst Du z.B. so umformen:E2 :  122(011)x=5225122y+122z=52252y+z=552\begin{aligned} E_2: \space \frac 12 \sqrt 2\begin{pmatrix} 0\\1\\ 1 \end{pmatrix} x &= - \frac 52 \sqrt 2 - 5 \\ \frac 12 \sqrt 2\, y + \frac 12 \sqrt 2\, z &= - \frac 52 \sqrt 2 - 5 && \left|\, \cdot \sqrt 2 \right. \\ y + z &= -5 - 5 \sqrt 2\end{aligned}

0 Daumen
  1. Zeichne eine Gerade d durch P.
  2. Zeichne einen Kreis k um P mit Radius 5, der die Gerade d schneidet.
  3. Zeichne eine Gerade p durch P, die den Kreis k schneidet und zu d einen Winkel von 67,5° hat.
  4. Schnittpunkt der Geraden p und des Kreises k sei Q.
  5. Zeichne die Gerade q durch Q, die die Gerade d schneidet und senkrecht zur Geraden p ist.
  6. Schnittpunkt der Geraden q und d sei R.
  7. Spiegel das Dreieck PQR an der Geraden d.
  8. Der Bildpunkt von Q bei der Spiegelung sei S.

Das Viereck PQRS hat einen 45°-Winkel bei R und rechte Winkel bei Q und S.

Zeichne die Gerade n durch R, die senkrecht zu den Geraden d und p ist.

n ist die Schnittgerade der Ebenen

E1 wird durch die Geraden p und n aufgespannt.

E2 wird durch die Geraden RS und n aufgespannt.

Um die Berechnungen einfach zu halten, bietet es sich an, in Schritt 1 die Gerade so zu wählen, dass sie parallel zu einer der Koordinatenachsen verläuft. Dann hat man bis Schritt 8 im Wesentlichen ein zweidimensionales Problem, anstatt sich um 3 Koordinaten kümmern zu müssen.

Avatar von 107 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage