Question

Bestimmen Sie die Taylor-Entwicklung von

g(x) = (x²) / (1+x²)

mit dem Entwicklungspunkt x_{0} = 0. Geben Sie den Konvergenzradius an.

Die Ableitung kann ich, habe aber Probleme bei der Formelfindung.

Könnt ihr mir das bitte Schritt für Schritt erklären?

Comments

Was hast du denn bei den Ableitungen herausbekommen ???

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Hallo

ist die eckige Klammer um x^2 die Gaussklammer?

lul

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das sollte auch ne runde sein :)

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Hallo

die Exponentialreihe für 1/(1+x^2)=1/(1-(-x^2)) solltest du kennen fängt mit geo an ;-) die einfach mit x^2 multiplizieren.

Gruß lul

Answer 1

Aloha :)

Gemäß der Summenformel für die geometrischen Reihe gilt:$$\sum\limits_{k=0}^\infty (-q)^k=\frac{1}{1-(-q)}=\frac{1}{1+q}\quad;\quad |q|<1$$

Setze nun \(q=x^2\) für \(|x|<1\), dann gilt:$$\frac{1}{1+x^2}=\sum\limits_{k=0}^\infty (-x^2)^k=\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^kx^{2k}$$$$\frac{x^2}{1+x^2}=x^2\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^kx^{2k}=\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^kx^{2k+2}$$