Seien A, A Algebren und φ : A → A ein Algebrenhomomorphismus, zeigen...

Question

Aufgabe:

Seien A, A' Algebren und φ : A → A' ein Algebrenhomomorphismus.

Zu zeigen:

(a) Ist U' ein Ideal in A', so ist U := { a ∈ A; φ(a) ∈ U′ } ein Ideal in A.

(b) Ist φ surjektiv und U ein Ideal in A, so ist φ(U) ein Ideal in A'.

(c) Die entsprechende Aussage von (b) ist im allgemeinen falsch, wenn φ nicht surjektiv ist.                                                      (Hinweis: Geben Sie ein Gegenbeispiel an, denken Sie dabei an Q und R.)

Ich bin für jede Hilfe dankbar

Comments

nach 16.15 müsste doch gelten phi({ a ∈ A; φ(a) ∈ U′ }) = 0 also auch phi(U) = 0 oder nicht ?

Answer 1

Sei \(K\) der Skalarenkörper von \(A\) und \(A'\),
ferner sei \(\phi:A\rightarrow A'\) ein \(K-\)Algebrahomomorphismus.

(a): Ist \(U'\) ein Ideal in \(A'\), so hat man den natürlichen \(K-\)Algebraepimorphismus
\(\pi:A'\rightarrow A'/U'\). Dann ist \(U=Kern(\pi\circ \phi)\). Kerne von
Algebrahomomorphismen sind bekanntermaßen Algebra-Ideale.

(b): Nun sei \(\phi\) surjektiv und \(U\) ein Ideal in \(A\).
Dass \(\phi(U)\) ein \(K-\)Untervektorraum von \(A'\) ist, folgt sofort
aus der Tatsache, dass \(\phi\) \(K-\)linear ist (siehe Volesung LinA).
Es bleibt also zu zeigen, dass \(\phi(U)\) unter der Multiplikation mit Elementen aus
\(A'\) abgeschlossen ist.
Seien \(a'\in A'\) und \(x\in A\) beliebig. Da \(\phi\) surjektiv ist,
gibt es \(a\in A\) mit \(\phi(a)=a'\). Damit erhalten wir
\(a'\phi(x)=\phi(a)\phi(x)=\phi(ax) \in \phi(U)\).

(c): Die Inklusionsabbildung \(\phi: \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}, \; q\mapsto q\) ist
offenbar ein \(\mathbb{Q}\)-Algebrahomomorphismus. Ferner ist \(\mathbb{Q}\)
ein Ideal in \(\mathbb{Q}\), nicht aber in \(\mathbb{R}\); denn z.B.
\(1 \in \mathbb{Q}, \sqrt{2} \in \mathbb{R}\), aber \(\sqrt{2}\cdot 1\notin \mathbb{Q}\).