Finden Sie die Schnittpunkte von B mit den Koordinatenachsen und mit dem Einheitskreis.

Question

Betrachten Sie die Funktion f : R² -> IR:(x,y) -> f(x,y) : (x²+y²)² -2(x²-y²) und die
Kurve B = {(x,y) € R² I f(x,y) = 0} .

(a) Finden Sie die Schnittpunkte von B mit den Koordinatenachsen und mit dem Einheitskreis.

(b) Berechnen Sie die zugehörigen Tangenten mittels des Gradienten, wo möglich.

(c) Versuchen Sie mit diesen Informationen eine Skizze der Kurve zu entwerfen.

(d) Es seien F_1 = (-1 , 0) und F_2 = (1, 2) Überprüfen Sie, dass jeder Punkt P auf der Kurve
B die folgende Bedingung erfüllt: I F_1 - P I * I F_2 - P I = 1.

Hier kann ich leider überhaupt nichts, würde mich sehr freuen wenn ihr mir bitte weiter helfen könnt.

Comments

Siehe auch Lemniskate.

Answer 1

(a) Finden Sie die Schnittpunkte von B mit den Koordinatenachsen

z.B. auf der y-Achse gilt x=0.

Wenn also ein Punkt P(x,y) auf der y-Achse liegt und auf B,

also ein Schnittpunkt von B mit der y-Achse ist, muss gelten

x=0  und P∈B also

x=0 und f(x,y)=0

also kurz ( x=0 einsetzen)   (0²+y²)² -2(0²-y²)=0

 <=>  y^4 +2y^2 = 0

<=>  y^2 * ( y^2 + 2) = 0

Da y^2+2 nie 0 ist also nur  y=0

Somit ist P(0;0) hier die einzige Möglichkeit.

Mit der x-Achse gibt es entsprechend

x^4 - 2x^2 = 0

<=>   x^2 * ( x^2 - 2 ) = 0

<=> x=0 oder x=±√2

Also hier 3 Schnittpunkte.

Für den Einheitskreis bedenke x^2 + y^2 = 1 und setze hier

passend in f(x,y) = 0 ein.

(x²+y²)² -2(x²-y²) und die
Kurve B = {(x,y) € R² I f(x,y) = 0} .