AWP y = y/x + x^2/y^2 ,y(1)=1

Question

Hi, kann mir bitte jemand bei diesem AWP helfen? Ich bin schon am verzweifeln und habe schon fast alles mögliche probiert, Separation oder eine Matrixdarstellung aber es geht einfach nicht....

\( y^{\prime}=y / x+x^{2} / y^{2}, \quad y(1)=1 \)

Answer 1

Hallo,

hier ein Link dazu:

https://mathepedia.de/Aehnlichkeitsdifferentialgleichungen.html

Substituiere:

z= y/x

y=z *x

y' =z +z'x

setze das in die DGL ein:

z +z'x = z +1/z^2 | -z

z'x = 1/z^2

dz/dx *x = 1/z^2

z ^2 dz = dx/x -> Trennung d. Variablen

z^3/3 = ln|x| +c ->nach z umstellen und rücksubstituieren z=y/x

Lösung: y= x (3 ln|x| +C)^(1/3)

AWA einsetzen: y(1)=1

1= 1 (3 ln|1| +C)^(1/3)

C=1

-Lösung:

y= x (3 ln|x| +1)^(1/3)

Comments

Hallo, danke für deine Antwort:

Wie kommtst du auf y=z *x => y' =z +z'x

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Es ist z=z(x) und y= y(x) jeweils eine Funktion von x ->Produktregel

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Okay, vielen Dank.

Answer 2

Das ist eine Ähnlichkeitsdifferentialgleichung. Substituiere u= y/x

Dann erhältst du:

$$u'=\frac{y'x-y}{x^2} \Longrightarrow y'=u+u'x$$

In die DGL eingesetzt ergibt dies:

$$u+u'x=u+\frac{1}{u^2}$$

Das kannst Du normal lösen und erhältst nach Rücksubstitution:

$$y=x\cdot\sqrt[3]{3ln|x|+c}$$