Quotientenkriterium mit logarithmen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( g)=\frac{n^{3}}{\ln (2)^{n}}=\frac{(n+1)^{3} \cdot \ln 4^{n}}{\ln (2)^{n+1} \cdot n^{3}}=\frac{n^{3}+3 n^{2}+3 n+1}{\frac{n^{3}}{n^{3}} \cdot \ln (2)}=\frac{1}{1} \)
\( h) \frac{n^{3}}{\ln (3)^{n}} \Rightarrow \frac{(n+1)^{3} \cdot \ln (3)^{n}}{\ln (3)^{n+1} \cdot n^{3}}=\frac{n^{3}+3 n^{2}+3 n+1}{\ln (3) \cdot n^{3}}=? \)

Text erkannt:

\( g)=\frac{n^{3}}{\ln (2)^{n}}=\frac{(n+1)^{3} \cdot \ln (2)^{4}}{\lg (2)^{n+1} \cdot n^{3}}=\frac{n^{3}+3 n^{2}+3 n+1}{n^{3} \cdot \ln (2)}=\frac{1}{1} \)
\( h) \frac{n^{3}}{\ln (3)^{n}} \Rightarrow \frac{(n+1)^{3} \cdot \ln 5^{n}}{\ln \left(3^{n+1} \cdot n^{3}\right.}=\frac{n^{3}+3 n^{2}+3 n+1}{\ln (3) \cdot n^{3}}=2 \)

Problem/Ansatz:

Ich muss die Aufgaben g und h mit dem Quotientenkriterium überprüfen. Was mache ich falsch? H müsste konvergent sein, aber verstehe nicht wieso.

Answer 1

Aloha :)

Deine Rechnungen sind richtig:$$\text{g) }\quad\frac{n^3+3n^2+3n+1}{n^3\ln(2)}=\frac{1+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{\ln(2)}\to\frac{1}{\ln(2)}>1$$$$\text{h) }\quad\frac{n^3+3n^2+3n+1}{n^3\ln(3)}=\frac{1+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{\ln(3)}\to\frac{1}{\ln(3)}<1$$g) ist also divergent und h) ist konvergent.