Question

Finden Sie eine Affinität f des R³, die die Quadrik Q mit der definierenden Gleichung 4xy − 4xz + 2z − 1 = 0 auf Standardform bringt.

Heute Leute, ich bräuchte bei der Aufgabe hier dringend Hilfe. Könnte mir einer mal erklären, wie ich diese Aufgabe berechne?

Answer 1

Zur Zusammenfasung

\(\small A \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}0&2&-2\\2&0&0\\-2&0&0\\\end{array}\right), \quad a \, :=  \, \left\{ 0, 0, 2 \right\}, \quad a_{0}=1 \)

Q=x^T A x + a^T x + a₀=0: JordanDiagonalization JD

\(\small JD \, :=  \,   \left(\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&2 \; \sqrt{2}&0\\0&0&-2 \; \sqrt{2}\\\end{array}\right)  \)

A hat den Eigenwert 0 und die anderen verschiedenes Vorzeichen ±2√2

===> ein hyperbolisches Paraboloid, einen hyperbolischen Zylinder oder zwei sich schneidende Ebenen

Achsenparallele Lage Drehung (orthogonale Eigenvektoren ===> R, det R=1)

\(\small R \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}0&\frac{1}{2} \; \sqrt{2}&\frac{1}{2} \; \sqrt{2}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\end{array}\right)\)

und Verschiebung in den Ursprung (quadratische Ergänzung)

\(\small T \, :=  \, \left\{ x = x, y = y + \frac{1}{8} \; \sqrt{2}, z = z + \frac{1}{8} \; \sqrt{2} \right\} \)

===>

\(\small q_N: \, 2 \; \sqrt{2} \; y^{2} - 2 \; \sqrt{2} \; z^{2} - \sqrt{2} \; x = 1\)

Grundlagen zur Hauptachsentransformation

https://www.geogebra.org/m/pempffkx

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