Reihe und Folge auf Konvergenz untersuchen

Question

Hallo :)

ich habe zwei Aufgaben, die mir Probleme bereiten:

1) Ich soll eine Reihe auf Konvergenz untersuchen. Das Problem ist nur, dass die Folge rekursiv definiert ist. \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{an} \)  mit a₀=1  und a_n+1=\( \frac{an}{2(1+an^2)} \)  .Hier habe ich zuerst an das Quotientenkriterium gedacht, aber dafür müsste ich ja auch einen festen Ausdruck für a_n haben. Wie gehe ich hier am besten vor?

2) Sei (x_n)_n∈ℕ eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Und f:ℝ→ℝ eine Funktion, für die die Folge (f(x_n))_n∈ℕ konvergiert. Dann konvergiert die Folge (xn)_n∈ℕ, wenn:

a) f stetig und injektiv ist

b) f stetig und surjektiv ist

c) f bijektiv ist.

Hier fällt mir einfach kein Satz ein, der mir bei der Entscheidung helfen könnte :/ Hat jemand einen Tipp?

Comments

Hallo,

für 1), denk mal über

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2(1+a_n^2)}$$

nach. Wie könnte das größer als 1 werden?

Gruß

Answer 1

1. Negativ wird der Quotient nie, also kannst du den Betrag weglassen und betrachtest:

a_n+1/a_n =  (  a_n / ( 2*( 1+a_n²)) ) / a_n =  1   / ( 2*( 1+a_n²)) ) #

1+a_n² ist immer größer oder gleich 1, also

ist der Nenner von # immer größer oder gleich 2. Es gibt also

ein q aus ]0;1[ ( nämlich q=1/2 ) mit a_n+1/a_n ≤ q für alle n∈ℕ.

Also ist die Reihe konvergent.

Comments

Ah, danke :)

Bei der Zwei bin ich mir jetzt mittlerweile sehr sicher, dass ich auf jeden Fall Stetigkeit brauche. Nur weiß ich nicht, warum ich außerdem Inaktivität oder Subjektivität benötige.

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warum ich außerdem Inaktivität oder Subjektivität benötige.

Dir ist schon klar, dass die Autokorrekturfunktion von Smartphones mathematisch äußerst ungebildet ist?

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Oh das ist mir nicht aufgefallen. Tut mir leid.