Ungleichung mit zwei Brüchen

Question

4 + $\frac{9}{x-1}$  >= $\frac{1}{x+3}$

habe ich bei dieser Ungleichung 4 Fälle?
womit würde ich anfangen ?

Answer 1

4 + 9/(x - 1) ≥ 1/(x + 3)

Ich würde folgende drei Fälle untersuchen

Fall 1: x < -3

Fall 2: -3 < x < 1

Fall 3: x > 1

Insgesamt komme ich auf die Lösung: x = -2 ∨ x < -3 ∨ x > 1

Comments

Kann ich nicht direkt die Fallunterscheidung machen ohne jegliche Umformung?

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Wie meinst du das. Ich habe doch direkt die Fallunterscheidung gemacht. Trotzdem wirst du ja irgendwann auch noch nach x auflösen müssen oder nicht ?

Answer 2

Hallo Clemens,

Du hast zwar drei Intervalle, aber weil die Gleichung so ist, wie sie ist reicht es aus zwei(!) Fälle zu unterscheiden. Für den ersten Fall ist $$x < -3 \lor 1 \lt x$$dann ist nämlich der Term$$(x-1)(x+3) \gt 0$$und damit kannst Du die Gleichung multiplizieren, ohne dass das $\ge$-Zeichen geändert wird.

1.Fall $x < -3 \lor 1 \lt x$:$$\begin{aligned} 4+ \frac 9{x-1} &\ge \frac 1{x+3} && \left| \, \cdot (x-1)(x+3) \gt 0\right. \\ 4(x-1)(x+3) + 9(x+3) &\ge x-1 \\ 4x^2+8x - 12 + 9x + 27 &\ge x -1 && \left|\, + x-1 \right.\\ 4x^2 + 16x + 16 &\ge 0 \\ x^2 + 4x + 4 &\ge 0 \\ (x+2)^2 &\ge 0\end{aligned}$$und hier sieht man schon, dass die linke Seite in jedem Fall $\ge 0$ ist, und die Gleichung somit in diesem Fall immer erfüllt ist.

2.Fall $-3 \lt x \lt 1$:$$\begin{aligned} 4+ \frac 9{x-1} &\ge \frac 1{x+3} && \left| \, \cdot (x-1)(x+3) \lt 0\right. \\ 4(x-1)(x+3) + 9(x+3) &\le x-1 \\ 4x^2+8x - 12 + 9x + 27 &\le x -1 && \left|\, + x-1 \right.\\ 4x^2 + 16x + 16 &\le 0 \\ x^2 + 4x + 4 &\le 0 \\ (x+2)^2 &\le 0 \end{aligned}$$die Rechnung ist hier natürlich die gleiche. Aber erfüllt ist die Gleichung nur für $x=-2$;

Answer 3

Die Nenner wechseln ihr Vorzeichen bei x=-3 und x=+1. Dadurch entstehen drei Intervalle.

Answer 4

Fallunterscheidungen sind nicht notwendig. Die Ungleichung ist äquivalent zu
$0\le4+\dfrac9{x-1}-\dfrac1{x+3}=\dfrac{4(x+2)^2}{(x+3)(x-1)}$,
und gilt offenbar genau dann, wenn $x<-3$ oder $x=-2$ oder $x>1$ ist.

Comments

@Spacko

Ich bezweifle, dass Leute, die zu Ungleichungen Fragen stellen, auf deine geniale Lösung kommen.    :-)

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@MP: Genau deshalb aus Spackos Kommentar eine Antwort gemacht. Das wird besser beachtet. Wer etwas lernen möchte freut sich über andere Ideen.