Aufgabe:
Ableitung der Umkehrfunktion
Problem/Ansatz:
Seien \( D, W \subseteq \mathbb{R} \) und \( D \) ein Intervall. Weiter sei \( f: D \rightarrow W \) eine surjektive, streng monotone Funktion, die in \( \tilde{x} \in D \) differenzierbar ist mit \( f^{\prime}(\tilde{x}) \neq 0 . \) Dann hat \( f \) eine Umkehriunktion \( f^{-1}: W \rightarrow D \), die in \( \tilde{y}:=f(\tilde{x}) \) differenzierbar ist, und es gilt:
$$ \left(f^{-1}\right)^{\prime}(\tilde{y})=\frac{1}{f^{\prime}\left(f^{-1}(\tilde{y})\right)} $$
Herleitung
\( \begin{aligned} & \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{f^{-1}\left(y_{n}\right)-f^{-1}(\tilde{y})}{y_{n}-\tilde{y}} \\ & \downarrow f\left(f^{-1}\left(y_{n}\right)\right)=y_{n} \text { und } f\left(f^{-1}(\tilde{y})\right)=\tilde{y} \\=& \lim \limits_{n \rightarrow \tilde{\infty}} \frac{f^{-1}\left(y_{n}\right)-f^{-1}(\tilde{y})}{f\left(f^{-1}\left(y_{n}\right)\right)-f\left(f^{-1}(\tilde{y})\right)} \\=& \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\frac{f\left(f^{-1}\left(y_{n}\right)\right)-f\left(f^{-1}(\tilde{y})\right)}{f^{-1}\left(y_{n}\right)-f^{-1}(\tilde{y})}} \\ & \downarrow f^{-1}\left(y_{n}\right)=x_{n} \operatorname{und} f^{-1}(\tilde{y})=\tilde{x} \\=& \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\frac{f\left(x_{n}\right)-f(\tilde{x})}{x_{n}-\tilde{x}}} \\=& \frac{1}{\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(x_{n}\right)-f(\tilde{x})}{x_{n}-\tilde{x}}} \end{aligned} \)
\( \downarrow f \) differenzierbar in \( \tilde{x} \)
\( =\frac{1}{f^{\prime}(\tilde{x})} \)
\( =\frac{1}{f^{\prime}\left(f^{-1}(\tilde{y})\right)} \)
Fragen über Fragen.. Diesmal habe ich eine Herleitung der Ableitungsregel für Umkehrfunktionen und den dazugehörigen Satz. Folgende Bedingungen gehen diesem Beweis voraus:
1. Die Umkehrfunktion muss überhaupt existieren
2. f'(x) darf nicht = 0 sein
3. Die Umkehrfunktion f^-1 muss in tilde{y} stetig sein.
Nun zu meiner Frage:
Normalerweise erkennt man ja an der Beweisführung recht gut, weshalb die Bedingungen eines Beweises gelten müssen. Das der zweite Punkt gelten muss, sieht man ja zum Beispiel, da im Nenner des Bruchs in der drittletzten Zeile des Beweises ansonsten ja 0 stehen würde. Ich erkenne aber einfach nicht im Beweis, wo die 3. Bedingung eingebracht ist und weshalb der Beweis nicht gültig wäre, wenn Bedingung 3 nicht gelten würde. Meine Vermutung ist, dass ja gilt, dass jede differenzierbare Funktion stetig ist und das dementsprechend der Differentialquotient nur dann eindeutig gebildet werden kann, wenn eben Bedingung 3. vorausgesetzt ist. Ich bin mir allerdings gerade sehr unsicher, ob Bedingung 3 nicht noch an anderer Stelle des Beweises eine Rolle spielt und ob ich den Wald vor lauter Bäumen einfach nicht mehr sehe.
