in welchem Verhältnis stehen die Volumina der beiden Tetrader zueinander?

Question

Hallo,

Gegeben sind zwei regelmäßige Tetraeder mit den Seitenlängen a1=2 und a2=4. In welchem
Verhältnis stehen ihre Volumina zueinander?

Das Ergebnis laut Musterlösung soll 1:4 sein; ich komme allerdings auf 1/8.

Das Volumen eines Tetraeders berechnet sich so: V = √2 * a³/12

Ich habe das Volumen des kleinen Tetraeders zum Volumen des großen Tetradeders ins Verhältnis gesetzt, aber komme wie gesagt auf 1:8.

Wo liegt mein Fehler ?

Danke und lieben Gruß :)

Answer 1

Also ohne die Kenntnis des Volumens des Tetraeders gilt ganz allgemein, wenn zwei ähnliche Körper vorliegen - d.h. alle Verhältnisse aller Seiten zueinander sind identisch:

bei Vervielfachung einer Seite um den Faktor \(f\), wächst das Volumen um den Faktor \(f^3\). Hier:$$a_1 \div a_2 = 1 \div 2 \implies V_1 \div V_2 = 1 \div 2^3 = 1 \div 8$$ ... und die Oberfläche wächst um den Faktor \(f^2\).

Comments

Dankeschön !

Answer 2

√2 * a³/12

√2 * (4)³/12 / √2 * (2)³/12
kürzen
4^2 / 2^2 = 3^2 = 4

1 zu 4

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

4² / 2² = 3² = 4

Wie kommt man darauf ?

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Korrektur : es hieß a hoch 3

V = 2 * a^3/12

( √2 * (4)^3/12 ) / ( √2 * (2)^3/12 )
kürzen
4^3 / 2^3 = 2^3 = 8

1 zu 8

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Dankeschön :)

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Dankeschön, liebe Grüße :)