Warum ist Polynomdivision durch (x-Nullstelle) bei reellen Koeffizienten immer restfrei?

Question

Liebe Lounge.

Wir betrachten Polynome mit reellen Koeffizienten. Nun zu meiner Frage:

Gegeben seien f(x) und n(x)=(x-n) , n ist Nullstelle von f.

Warum geht die Division f(x)/n(x) immer restfrei auf, wenn n(x) die obige Eigenschaft erfüllt?

Mein Ansatz:

Wäre es nicht so, dann werde ein Rest entstehen, welcher NICHT durch (x-n) teilbar wäre.

Folglich: f(x)=(x-n)*m(x)+ r(x), mit r(x) ist der Rest.

Nach dem Nullproduktsatz wäre nun aber n keine Nullstelle mehr, da zwar (n-n)*m(n)=0 aber r(n) ungleich 0, da r(n) offensichtlich kein Vielfaches von (x-n) ist. Das müsste aber erfüllt sein, sodass r(n)=0 .

Danke für eure Hinweise!

Answer 1

Hallo

genau richtig gezeigt

Gruß lul

Comments

Das ist spitze.

Kannst du mir dann noch kurz weiterhelfen bei den quadratischen Funktionen.

Seien x1 und x2 Nullstellen von f. Dann kann man f schreiben mit f(x)=a(x-x1)(x-x2)

Das ist ja irgendwie ähnlich, wie meine alte Frage. Aber hast du eine Herleitung dafür? Eventuell sogar mithilfe meiner Erklärung der Restfreiheit bei der Polynomdivision?

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Hallo

dass dieses Polynom die Nullstellen x1 und x2 hat ist klar, damit ist es das einzige Polynom mit diesen 2.

Gruß lul