Generelles zu Konvergenz einer Reihe

Question

Generelle Frage zu Konvergenz einer Reihe

Wenn ich eine Reihe auf Konvergenz untersuchen soll, dann prüfe ich erst ob es sich um eine bekannte Reihe handelt (geom./ harm./ Teleskop). Wenn nicht, dann prüfe ich, ob es sich bei (an) um eine Nullfolge handelt, der Grenzwert 0 ist. Dies ist die Voraussetzung für die Konvergenzkriterien (Quotientenkr./ Wurzelkr./ ...).

Aber wenn ich eine Nullfolge vorliegen hab, dann weiß ich doch schon, dass diese Konvergiert, warum brauch ich dann noch die Konvergenzkriterien??? Nur für absolute Konvergenz?

Und was ist mit Reihen, die gegen etwas anderes als 0 konvergieren? Diese konvergieren doch auch, sind aber keine Nullfolgen....

Ich hoffe mir kann hier jemand etwas Klarheit verschaffen,

Answer 1

Allgemein kannst du die Konvergenz mit dem Cauchykriterium nachweisen.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge

Doch das ist oft umständlich zu händeln, darum benutzt man gerne die von dir genannten Verfahren.

Answer 2

Hallo,

Deine Frage erweckt den Eindruck, dass Du nicht genau zwischen der Folge der Summanden und der Folge der Partialsummen unterscheidest. Also: Wir haben eine Folge \((a_n)\), die Folge der Summanden, daraus bildet man die Folge \((p_n)\) der Partialsummen:

$$p_n:= \sum_{k=1}^n a_k$$. Wenn diese Folge \((p_n)\) gegen eine Zahl \(x\) konvergiert, dann schreibt man

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n= \lim_{n \to \infty} p_n=x$$

und sagt, dass die Reihe konvergiert.

Notwendig dafür dass die Reihe konvergiert, ist, dass \(a_n \to 0\). Wenn \(a_n \to 0\), kann aber nicht ohne weiteres geschlossen werden, dass auch die Reihe konvergiert. Deshalb muss man dann eines der Kriterien für Reihen prüfen.

Gruß