Winkel zwischen zwei Richtungsvektoren einer Ebene bestimmen

Question

Hi Leute heute Mal wieder eine schwere Aufgabe:

Gegeben ist folgende Ebene:

$$E:\vec{x}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\6 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} -2\\1\\2 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}$$

Nun soll ich bestimmen, welchen Winkel die beiden Richtungsvektoren der Ebene E einschließen.

Macht man das mit dem Skalarprodukt? Da stehen doch zwei Variablen davor, r und s. Gibt es einen anderen Weg?

VG

Answer 1

Aloha :)

Die Skalierung der Vektoren spielt bei der Winkelberechnung keine Rolle, weil die Länge der Vektoren durch Division kompensiert wird:$$\cos\alpha=\frac{\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\right\|}=\frac{-2-1+0}{\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}}=\frac{-3}{3\cdot\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt2}$$Die Arcuscosinus-Funktion liefert \(135^\circ\).

Answer 2

Hallo,

den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnest du mit der Formel

\(cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\circ \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\)

Gruß, Silvia