Eulersche DGL's lösen mit Anfangswerten

Question

Aufgabe:

Lösen Sie die Eulersche Differentialgleichung

x^3 y''' + 2x^2 y'' − xy' + y = 0 x > 0

für die Anfangswerte y(1) = 1, y′(1) = 0 und y′′(1) = 7.

Problem/Ansatz:

Ich habe ein allgemeines Problem mit Eulerschen DGL's, ich weiß leider überhaupt nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll.

Answer 1

Hallo

was verstehst du an den Rezepten , x=e^t, u=y(e^t) nicht? lies z,B nach in

http://www.tm-mathe.de/Themen/html/gewdgleuler.html

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

Ansatz:

y=x^r

y'= r x^(r-1)

y''= r(r-1) x^(r-2)

y'''= r(r-1)(r-2) x^(r-3)

-------->setze y ,y',y'',y''' in die DGL ein und vereinfache:

------->

r^3 -r^2 -r +1 =0

(r-1)^2 (r+1)=0

r_1.2=1-------->y₁(x)=C₁x und y₂(x)=C₂ x ln(x)

r₃= -1  ----->y₃(x)=C₃/x

y=C₁/x +C₂x +C₃ x ln(x)

zum Schluß noch die AWB in die Lösung +deren Ableitungen einsetzen.

Lösung mit AWB:

y=-x +2/x +3x ln(x)