Punkte und Vektoren im Raum

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die fehlenden Koordinate p so, dass der Punkt A vom Punkt B den Abstand 5 hat.

A(7/0/2) ; B(5/-3/p)

Problem/Ansatz:

Mein Ergebnis stimmt mit den in der Lösung nicht überein.

Mein Rechenweg:

√(-2)² + (-3)² +(p-2)² = 5

nach zusammenfassen und umformen kam ich drauf, dass p = p² - 2

Die Lösung wäre aber p = 2 - √12

Answer 1

Es gilt $$5=d(A,B)=\sqrt{(5-7)^2+(-3-0)^2+(p-2)^2}=\sqrt{13+(p-2)^2}$$

Damit folgt $$25=13+(p-2)^2 \Rightarrow 12=(p-2)^2 \Rightarrow \sqrt{12} = |p-2| \Rightarrow p_1=2+\sqrt{12} \ \wedge \ p_2=2-\sqrt{12}$$

Comments

Danke, habs jetzt verstanden

Answer 2

AB = B - A = [5, -3, p] - [7, 0, 2] = [-2, -3, p - 2]

|[-2, -3, p - 2]| = √(2^2 + 3^2 + (p - 2)^2) = √(4 + 9 + p^2 - 4·p + 4) = √(p^2 - 4·p + 17) = 5
p^2 - 4·p + 17 = 25
p^2 - 4·p - 8 = 0
p = 2 ± √(4 + 8) = 2 ± √12

Damit liegen die Werte ca. bei

p1 = -1.464 ; p2 = 5.464