Ungleichung vom Eindimensionalen ins Zweidimensionale bringen

Question

Aufgabe:

Auf einer Geraden g liegen in dieser Reihenfolge die Punkte P, Q, R und S. Ein weiterer Punkt A liegt nicht auf dieser Gerade. A' sei der Lotfußpunkt von A auf g. Zeige, dass AP+AS>AQ+AR genau dann gilt, wenn A'P+A'S≥A'Q+A'R gilt.

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht mit Pythagoras von der der zweiten Ungleichung auf die erste zu kommen, aber das sah nach sehr viel rechnen aus und ich bin mir auch nicht sicher, ob es funktioniert. Habt ihr eine andere Idee? Vielen Dank!!!

Answer 1

Nur eine Idee: Benutze im Dreieck PSA die Dreiecksungleichung: A'P+A'S<AP+AS.

Comments

Damit komme ich auf AP+AS>A'Q+A'R. Allerdings gilt AQ+AR>A'Q+A'R. Wie kommt man also zu AP+AS>AQ+AR?

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Kann man das ganze vielleicht umkehren? Also aus dem zweidimensionalen das eindimensionale folgern? Dann gilt das zweidimensionale nur, wenn das eindimensionale gilt. Hätte da jemand Ideen das umzusetzen? Viele Dank!!!