Aloha :)
Da uns von der Ergebnismatrix nur die erste Spalte bekannt ist, müssen wir die Konstanten \(a,b,c,d\) allein daraus bestimmen können. Daher bestimmen wir die erste Spalte des Ergebnisses, indem wir die linke Matrix mit der ersten Spalte der zweiten Matrix multiplizieren:
$$\begin{pmatrix}a & 2\\1 & b\\c & 5\\7 & d\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix}a\\1\\c\\7\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}2\\b\\5\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a+6\\2+3b\\2c+15\\14+3d\end{pmatrix}\stackrel{!}{=}\begin{pmatrix}12\\14\\27\\20\end{pmatrix}$$Wir lösen die 4 gefundenen Gleichungen auf:$$2a+6=12\;\quad\Rightarrow\quad 2a=6\;\,\quad\Rightarrow\quad a=3$$$$2+3b=14\quad\;\,\Rightarrow\quad 3b=12\quad\Rightarrow\quad b=4$$$$2c+15=27\quad\Rightarrow\quad 2c=12\quad\Rightarrow\quad c=6$$$$14+3d=20\quad\Rightarrow\quad 3d=6\;\quad\Rightarrow\quad d=2$$
Damit haben wir die erste Matrix komplett und können die fehlenden 3 Spalten der Ergebnis-Matrix berechnen:$$\begin{pmatrix}3 & 2\\1 & 4\\6 & 5\\7 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}3\\1\\6\\7\end{pmatrix}+5\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\5\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+10\\1+20\\6+25\\7+10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\21\\31\\17\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}3 & 2\\1 & 4\\6 & 5\\7 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}=6\cdot\begin{pmatrix}3\\1\\6\\7\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\5\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18+6\\6+12\\36+15\\42+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}24\\18\\51\\48\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}3 & 2\\1 & 4\\6 & 5\\7 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}=7\cdot\begin{pmatrix}3\\1\\6\\7\end{pmatrix}+5\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\5\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}21+10\\7+20\\42+25\\49+10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}31\\27\\67\\59\end{pmatrix}$$
Wir fassen alle berechneten Spalten wieder in einer Matrix zusammen:
$$\begin{pmatrix}3 & 2\\1 & 4\\6 & 5\\7 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 & 1 & 6 & 7\\3 & 5 & 3 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12 & 13 & 24 & 31\\14 & 21 & 18 & 27\\27 & 31 & 51 & 67\\20 & 17 & 48 & 59\end{pmatrix}$$
