Wie stark muss die Verankerung gegenüber der Horizontalen geneigt sein, damit diese Bedingung für die Müngstener …

Question

Aufgabe: Die über 100 Jahre alte Müngstener Brücke ist eine der technische interessantesten Eisenbahnbrücken in Deutschland. Ihr Bogen hat eine Spannweite von 170m, der Scheitelpunkt des Bogens liegt 69 m höher als die Bodenverankerungen

a)  Modellieren Sie den Brückenbogen durch eine ganzrationale Funktion 2. Grades(Parabel)

b) Die Verankerung des Brückenbogens hat dann optimale Stabilität, wenn der Brückenbogen senkrecht auf der Verankerung endet. Wie stark muss die Verankerung gegenüber der Horizontalen geneigt sein, damit diese Bedingung für die Müngstener Brücke erfüllt ist?

Answer 1

Hier erst einmal eine mögliche Skizze mit Bemaßung

a)  Modellieren Sie den Brückenbogen durch eine ganzrationale Funktion
2. Grades(Parabel)

Parabel ( ohne Verschiebung nach rechts oder links )
f ( x ) = a * x^2 + b
( x | y )
( 85 | 0 )
( 0 | 69 )

Einsetzen
0 = a * 85 ^2 + b
69 = a * 0 ^2 + b

b = 69

0 = a * 85^2 + 69
a = -69 / 85^2
a = - 0.00955

f ( x ) = - 0.00955 * x ^2 + 69

b) Die Verankerung des Brückenbogens hat dann optimale Stabilität,
wenn der Brückenbogen senkrecht auf der Verankerung endet. Wie stark
muss die Verankerung gegenüber der Horizontalen geneigt sein,
damit diese Bedingung für die Müngstener Brücke erfüllt ist?

Berechnung des Steigungswinkels
f ´( x ) = - 0.00955 * 2 *  x
f ´( 85 ) = - 1.6235
Am anderen Ende
f ´( -85 ) = 1.6235 = 58.37 °

Verankerung
- 31.63 °

Bei Bedarf nachfragen

Comments

ich danke Ihnen aufjedenfall für die Rechnung, nur ist es für mich nicht ganz nachvollziehbar wie es zum Ergebnis der Verankerung kam ?

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Hallo Anna,

schau Dir folgende Zeichnung an:

Die Verankerung soll die dicke braune Strecke am Punkt \(A\) sein. Gesucht ist der gelbe Winkel \(\alpha\). Aus der Zeichnung kann man ablesen, dass $$\alpha = \arctan\left( \frac{170}{4 \cdot 69}\right) \approx 31,6°$$

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Wie kommen sie auf 170 und 4*69 ?

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Wie kommen sie auf 170 und 4*69 ?

Die Tangente an die (Brücken)Parabel (blau) durch den Punkt \(A\) verläuft durch den Punkt \(M'\), der sich auf der Höhe des Scheitels \(B\) und auf halben Wege zwischen \(B\) und \(A\) befindet. Die Mitte ist mit \(M\) markiert.

Dieser Zusammenhang gilt für alle Parabeln.

Der Winkel \(\angle MM'A\) ist genauso groß wie \(\alpha\). Und der Tangens dieses Winkels ist das Verhältnis von horizontaler Entfernung \(M'\) zu \(A\) von \(170 \text m/4\) zur vertikalen Entfernung von \(69 \text m\).

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Hallo Anna,
ist dir klar wie es zum Steigungswinkel
von 58.37 ° bei - 85 m kommt ?
Falls nicht verstanden erkläre ich es dir.

Winkel am Fußpunkt
58.37 ° Brücke
90 ° ( senkrecht ) zwischen Brücke und
Verankerungsplatte ( rot )
38.63 ° zur x-Achse
-------------------------
180 °

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Achso, also dass mit dem arctan habe ich verstanden nur weiß ich noch nicht ganz wo sie die Zahlen 170 und 69 abgelesen haben und warum 69 mal 4 genommen wird. Jz jz

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... nur weiß ich noch nicht ganz wo sie die Zahlen 170 und 69 abgelesen haben und warum 69 mal 4 genommen wird.

69 wird nicht mit 4 mal genommen, sondern 170 durch 4 geteilt (s. Kommentar oben).

Die Strecke 170 ist die gegebene Spanweite \(A'A\) und die Strecke 69 die gegebene Höhe. Aus dem Dreieck \(XAM'\) kann man die Steigung für die gelben Winkel \(\alpha\) bestimmen. Und \(|XA| = \frac 14 |AA'| = 170/4\).

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Achsoo jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank!

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Leider ist meine Skizze im letzten
Kommentar verschüttgegangen.
Diese habe ich oben noch eingefügt.

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Dankeschön, hat mir sehr geholfen!

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Gern geschehen.

Answer 2

a)

f(x) = - 69/(170/2)^2·(x - 170/2)^2 + 69 = 138/85·x - 69/7225·x^2

f'(0) = 138/85

α = ARCTAN(-1/(138/85)) = -31.63°