Weisen Sie nach, dass alle Tangenten der

Question

Aufgabe:

Die Schar aller Wendetangenten an G_k sei mit t_k bezeichnet. Weisen Sie nach, dass alle Tangenten der Schar t_k zueinander parallel verlaufen.

f(x)= e^-x/k(8x-8k)

Problem/Ansatz:

Answer 1

Es sind

$$f'(x)=-\frac{8}{k} e^{-\frac{1}{k} x} (x-k) + 8e^{-\frac{1}{k} x} = e^{-\frac{1}{k} x} \cdot (-\frac{8}{k} x + 16) \\ f''(x)=-\frac{1}{k} \cdot e^{-\frac{1}{k} x} (-\frac{8x}{k} +16) + e^{-\frac{1}{k}x} \cdot (-\frac{8}{k}) = e^{-\frac{1}{k} x} (\frac{8}{k^2} x - \frac{24}{k}) \\ f'''(x) = -\frac{1}{k} e^{-\frac{1}{k} x } (\frac{8}{k^2} x - \frac{24}{k}) + e^{-\frac{1}{k} x} \cdot \frac{8}{k^2} = e^{-\frac{1}{k}} (-\frac{8}{k^3} x + \frac{32}{k^2})$$

Also folgt

$$f''(x)=0 \Rightarrow e^{-\frac{1}{k} x} \neq 0 \ \wedge \ 0=\frac{8}{k^2}x-\frac{24}{k} \Rightarrow x=3k \\ f'''(3k) = e^{-3} \cdot \frac{8}{k^2} \neq 0 \Rightarrow \text{Wendestelle } x=3k \Rightarrow \text{Wendetangentenanstieg } m_{t_k} = f'(3k)=-8\cdot e^{-3}$$

Und damit sind die Wendetangenten parallel, da der Anstieg jeweils von k unabhängig ist.

Comments

Oswald hat eine sehr klare Handlungsanweisung gegeben:

Bestimme die Wendestelle von f.
Bestimme die Steigung von f an der Wendestelle.

Deine Reaktion (sinngemäß):

Du brauchst die Wendestelle nicht selbst zu bestimmen. Lies meine Antwort.

Du brauchst die Steigung an der Wendestelle NICHT zu berechnen, denn auch das habe ich bereits für dich getan.

---

@abakus

Zum Zeitpunkt, an dem ich angefangen hatte meine Antwort zu verfassen, war die Antwort von oswald noch nicht gepostet worden. Ich hatte also keine "bösen Intentionen" mit meiner Antwort, sondern wollte schlichtweg eine Antwort auf die Frage geben.

Falls du Lösungen hast, damit in Zukunft nicht erneut ein solcher Anschein entsteht, würde es mich freuen, wenn du sie mit mir teilen würdest.

Mfg NeverGiveUp

---

Man sollte meiner Meinung nach schon zuerst ausloten, was der Fragesteller nach ersten Impulsen vielleicht doch allein und aus eigenen Kräften kann.

---

Danke für die konstruktive Kritik. Ich werde in Zukunft versuchen mich daran zu orientieren.

---

Vielen Dank :)

Answer 2

1. Bestimme die Wendestelle von f.
2. Bestimme die Steigung von f an der Wendestelle.
   

Answer 3

Hallo,

du bestimmst zunächst den Wendepunkt der Funktionenschar und setzt diesen Wert in die 1. Ableitung = Steigung ein. Sofern das Ergebnis konstant ist, haben alle Tangenten die gleiche Steigung und sind parallel.

[spoiler]

\(f_k''(x)=-\frac{e^{-\frac{x}{k}}(8x-24k)}{k^2}\\ -\frac{e^{-\frac{x}{k}}(8x-24k)}{k^2}=0 x=3k\\[20pt] f_k'(x)=-\frac{e^{-\frac{x}{k}}(8x-16k)}{k}\\ f_k'(3k)=-8e^{-3}\)

[/spoiler]

Gruß, Silvia