Aloha :)
Wir kennen die Nullstelle \(x_1=2\), d.h. die Polynomfunktion enthält den Faktor \((x-2)\). Wir kennen weiter die Nullstelle \(x_2=-5\), d.h. die Polynomfunktion enthält den Faktor \((x+5)\). Daher wählen wir als Ansatz:$$f(x)=a(x+b)(x-2)(x+5)$$$$\phantom{f(x)}=(ax+ab)(x^2+3x-10)$$$$\phantom{f(x)}=ax^3+abx^2+3ax^2+3abx-10ax-10ab$$$$\phantom{f(x)}=ax^3+(ab+3a)x^2+(3ab-10a)x-10ab$$Die Steigung bei \(x_1=2\) beträgt \(-35\). Wir benötigen also die erste Ableitung:$$f'(x)=3ax^2+(2ab+6a)x+(3ab-10a)$$$$-35\stackrel{!}{=}f'(2)=12a+(4ab+12a)+(3ab-10a)=14a+7ab\quad\Leftrightarrow$$$$\underline{2a+ab=-5}$$Es gibt einen Wendepunkt bei \(x_w=43\), d.h. die zweite Ableitung ist an dieser Stelle null:$$f''(x)=6ax+(2ab+6a)$$$$0\stackrel{!}{=}f''(43)=258a+2ab+6a=264a+2ab=2a(132+b)$$Die Lösung \(a=0\) macht keinen Sinn, dann wäre die Funktion \(f(x)=0\). Also bleibt nur die Lösung \(b=-132\), woraus mit der unterstrichenen Gleichung sofort \(2a-132a=-5\) bzw. \(a=\frac{-5}{-130}=\frac{1}{26}\) folgt. Die gesuchte Funktion lautet also:$$\boxed{f(x)=\frac{1}{26}(x-132)(x-2)(x+5)}$$
