Summe zu einer Differenz von zwei positiven umschreiben.

Question

Aufgabe:

Man soll die Summe

$$\sum \limits_{k=0}^{n} (-1)^{k}$$

zu einer Differenz von zwei positiven Summen umschreiben.

Anschließend soll man die vereinfachen.

Problem/Ansatz:

Vermutung ist das n= 1, wenn n gerade

                            n=0, wenn n ungerade ist.

Könnt ihr die Aufgabe in der Angabe lösen und die Vermutung beweisen?

Ich schaffe es nicht, ich wäre auch sehr dankbar wenn ihr mir helfen könntet..

Comments

Vermutung ist das Summe= 1, wenn n gerade; Summe=0, wenn n ungerade ist.

Answer 1

Aloha :)

1. Fall: \(n\) ist gerade.

Wir können \(n\) in der Form \(n=2k\) schreiben, wobei \(k=\frac{n}{2}\in\mathbb N\) eindeutig festgelegt ist. Damit erhalten wir als Summe:$$S_n=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i=\sum\limits_{i=0}^{2k}(-1)^i=\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^{2i}+\sum\limits_{i=0}^{k-1}(-1)^{2i+1}$$$$\phantom{S_n}=\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^{2i}-\sum\limits_{i=0}^{k-1}(-1)^{2i}=\sum\limits_{i=0}^{k}1-\sum\limits_{i=0}^{k-1}1=(k+1)-k=1$$

2. Fall: \(n\) ist ungerade.

Wir können \(n\) in der Form \(n=2k+1\) schreiben, wobei \(k=\frac{n-1}{2}\in\mathbb N\) eindeutig festgelegt ist. Damit erhalten wir als Summe:$$S_n=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i=\sum\limits_{i=0}^{2k+1}(-1)^i=\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^{2i}+\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^{2i+1}$$$$\phantom{S_n}=\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^{2i}-\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^{2i}=\sum\limits_{i=0}^{k}1-\sum\limits_{i=0}^{k}1=(k+1)-(k+1)=0$$

Wir fassen beide Fälle zusammen:

$$\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k=\left\{\begin{array}{l}1 &\text{falls \(n\) gerade}\\0 & \text{falls \(n\) ungerade}\end{array}\right.$$

Comments

Großartig!!

Könntest du mir das mit "n" und "k" erklären? Wieso nehme ich im 1.Fall n = 2k und k = n/2 an?

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Für \(k=0,1,2,3,\cdots\) nimmt \(n=2k=0,2,4,6,...\) alle geraden Zahlen an und \(n=2k+1=1,3,5,7,\ldots\) alle ungeraden Zahlen. So kann man zwischen gerade und ungeraden Exponenten unterscheiden.

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Hey Tschakabumba, ich hab mir das Beispiel angesehen und verstehe gewisse Zwischenschritte einfach nicht. Habe versucht zu recherchieren aber hat nicht wirklich geholfen. Könntest du paar Zwischenschritte beschreiben?

Hoffe dies ist nicht zu viel verlangt von mir! Aber das Beispiel lässt mir keine Ruhe.

Answer 2

$$\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k= \sum\limits_{\phantom{k\equiv 0\!}k=0\\k\equiv 0 \bmod{2}}^{n} 1 - \sum\limits_{\phantom{k\equiv 1\!}k=1\\ k \equiv 1 \bmod{2}}^{n} 1 $$