Finden Sie die Ableitung von x*sin(x)

Question

Aufgabe:

Finden Sie die Ableitung von \( x \sin (x) \)

Problem/Ansatz:

Was ist die Ableitung von x sin(x)

1) Das vor dem sin(x) bleibt stehen, da es Multipliziert wird.

Also erhalten wir= x

2) sin(x) wird zu cos(x)

Also erhalten wir x*cos(x) als Ableitung.

Mein "Online Rechner" sagt, dass sie Ableitung sin(x) + x*cos(x) ist. Ist das wahr? Wenn ja, wie kommt man darauf.

Die Produnktregel muss ich ja nicht anwenden, da f(x)= 2*sin(x) ja auch f´(x)= 2*cos(x) ist.

X steht ja für eine Zahl, also kann ich das ja wie hier → f(x)= 2*sin(x) === f´(x)= 2*cos(x) machen.

Answer 1

Hallo Martin,

vielleicht ist es am verständlichsten zu erklären, wenn man sagt: die Produktregel kann man IMMER anwenden. Betrachten wir dazu \(2 \sin(x)\). Die Produktregel lautet ja$$f(x) = u(x) \cdot v(x) \implies f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$Das wende ich auf \(2\sin(x)\) an; die Ableitung der Konstanten \(2\) nach \(x\) ist \(0\):$$\begin{aligned} f(x) &= 2 \cdot \sin(x) \\ f'(x) &=  0 \cdot \sin(x) + 2 \cdot \cos(x) = 2 \cos(x) \end{aligned}$$Das selbe für \(f(x) = x \cdot \sin(x)\); die Ableitung von \(x\) nach \(x\) ist \(1\):$$\begin{aligned} f(x) &= x \cdot \sin(x) \\ f'(x) &= 1 \cdot \sin(x) + x \cdot \cos(x) = \sin(x) + x\cos(x) \end{aligned}$$Alles klar?

Comments

Aha. Dann der das der unterschied=

2 abgeleitet ist 0. Und 0 mal sin(x) = 0

x abgeleitet ist 1. Und 1 mal sin(x) = sin(x)

Danke dir!

Answer 2

Die Produnktregel muss ich ja nicht anwenden, da f(x)= 2*sin(x) ja auch f´(x)= 2*cos(x) ist.

Hier Verwendet man die Faktorregel. Dort wird mit einem konstanten Faktor multipliziert.

Produktregel

f(x) = x * sin(x)

f'(x) = [x]' * sin(x) + x * [sin(x)]' = 1 * sin(x) + x * cos(x) = sin(x) + x * cos(x)

Answer 3

Hier musst du die Produktregel anwenden:

\(f(x)=x\sin(x)\), dann folgt \(f'(x)=(x)'\sin(x)+x(\sin(x))'=1\cdot \sin(x)+x\cos(x)\)

Answer 4

$$f(x)= x * sin (x)$$ $$Produktregel%$$ $$f(x) =u(x)*v(x)$$ $$u(x)=x$$ $$u'(x)=1$$ $$v(x)=sin(x)$$ $$v'(x)=cos(x)$$ $$f'(x)= $$$$u'(x)*v(x)+ u(x)*v'(x)$$ $$f'(x)=1*sin(x)+ x*cos(x)$$