Vektorfeld, Skalarfeld, nicht definiert bei div, rot...?

Question

Aufgabe:

Heyy ich hätte eine Frage und zwar, wenn ich bspw. eine skalare Funktion f ℝ³ → ℝ und ein Vektorfeld v ℝ³ → ℝ³ habe und soll jetzt grad(f*div(v)), rot(v*div(f)), div(grad(f)), grad(rot(f)) bilden, woher weiß ich dann, ob ein Skalarfeld oder Vektorfeld rauskommt bzw. ob das ganze nicht definiert ist ? Gibt es da bestimme Bildungsvorschriften oder so etwas ?

Answer 1

Aloha :)

Man kann sich das mit Hilfe des Nabla-Operators \(\vec \nabla\) schön schreiben. Der Name kommt daher, weil der Operator in etwa so aussieht wie eine antike Harfe. Der Nabla-Operator enthält als Komponenten die Anweisungen zur partiellen Ableitung nach der jeweiligen Komponente:$$\vec\nabla:=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}$$Der Gradient wirkt auf ein Skalarfeld und liefert ein Vektorfeld:$$\operatorname{grad}f=\begin{pmatrix}\partial_xf\\\partial_yf\\\partial_zf\end{pmatrix}=\vec\nabla f$$Die Divergenz wirkt auf einen Vektorfeld und liefert ein Skalarfeld (Skalar-Produkt):$$\operatorname{div}\vec f=\partial_xf_x+\partial_yf_y+\partial_zf_z=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}f_x\\f_y\\f_z\end{pmatrix}=\vec\nabla\cdot\vec f$$Die Rotation wirkt auf ein Vektorfeld und liefert ein Vektorfeld (Vektor-Produkt):$$\operatorname{rot}\vec f=\begin{pmatrix}\partial_yf_z-\partial_zf_y\\\partial_zf_x-\partial_xf_z\\\partial_xf_y-\partial_yf_x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}f_x\\f_y\\f_z\end{pmatrix}=\vec\nabla\times\vec f$$

Comments

Der Name kommt daher, weil der Operator in etwa so aussieht wie eine antike Harfe.

Witzig, mal wieder was neues gelernt!

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Dankeschön das hat mir wirklich weiter geholfen ;)

Answer 2

Hallo,

grad(f*div(v))

die Divergenz von \(\vec{v}\) ist ein Skalar. Du kannst eine Funktion \(f\) mit diesem Skalar strecken und dann den Gradienten berechnen.

rot(v*div(f))

Die Rotation ist vektorwertig. Wie sähe div(f) aus? Divergenz eines Skalarfeldes? Possible?

div(grad(f))

Du kannst in jedem Fall die Divergenz des Gradienten bilden, dieser ist ja vektorwertig.

grad(rot(f))

Kann man den Gradient eines Vektors berechnen?

Comments

PS: Habe mal ein wenig recherchiert und es gibt tatsächlich eine Verallgemeinerung des Gradienten-Begriff, die es möglich macht, auch den Gradienten eines Vektors zu bestimmen. Das ist hier aber bestimmt nicht gefragt.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient#Generalizations

Als Tipp für deine Frage, würde ich dir vorschlagen, sich die Definitionen der verschiedenen Operatoren anzuschauen und zu gucken, welcher Input erlaubt ist und was als Output rauskommt.

Man schreibt manchmal verkürzt:

\(\operatorname{div} f=\nabla \cdot f\) (Skalarprodukt => Skalar)

\(\operatorname{rot} f=\nabla \times f\) (Vektorprodukt => Vektor)

\(\operatorname{grad} f= \nabla f\) Vektor