Integral einer gebrochenrationalen funktion berechnen?

Question

Aufgabe:

Ich soll das integral berechnen indem ich zuerst eine polynomdivision durchführen und dann die stammfunktion bilde:

Die funktion lautet: (x^2+3x-4):(x^2-2x-8)

Die Grenzen des integrals sind von -1 (unterer) bis 2(obere)

Problem/Ansatz:

Ich habe jetzt mal die nullstelle des nenners berechnet und eine ist bei x=4

Dann habe ich somit die polynomdivison gemacht und den term rausbekommen : x+7+24/x-4

Davon habe ich die stammfunktion gebildet:

F(x)= 0.5x^2+7x+(1/24)*ln(24/x-4)

Dann habe ich damit das bestimmte integral berechnet und bin auf einen Wert von ca 0.51 gekommen.. im buch steht aber 0.72

Weiß wer was ich falsch gemacht habe oder ob die lösung im buch nicht stimmt?

Answer 1

f(x) = (x^2 + 3·x - 4)/(x^2 - 2·x - 8)

f(x) = 1 + 4/(x - 4) + 1/(x + 2)

Hier kannst du dann recht einfach eine Stammfunktion bilden

F(x) = x + 4·LN(x - 4) + LN(x + 2)

Comments

Ok das versteh ich, aber wenn ich es mit polynomdivison machen soll kommt ja diese Funktion raus: x+7+24/x-4

Und davon die stammfunktion ist doch:

F(x)= 0.5x^2+7x+24*ln(24/x-4) +C

Aber wenn ich hier die Werte einsetzte kommt ein falsches Ergebnis raus....

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Ich verstehe nicht ganz wie du auf x+7 + 24/(x-4) kommst?

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Naja ich habe die nullstelle des Nenner terms  ( x^2-2x-8) ermittelt mit der binomischen Formel und die eine nullstelle ist bei x=4

Dann habe ich eine polynomdivison gemacht also den zählerterm x^2+3x-4 durch (x-4) geteilt und so bin ich auf diese Lösung gekommen

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Die erste Polynomdivision sollte sein

(x^2 + 3·x - 4)/(x^2 - 2·x - 8) = 1 + (5·x + 4)/(x^2 - 2·x - 8)

Jetzt müsstest du eine Partialbruchzerlegung machen

(5·x + 4)/(x^2 - 2·x - 8)
= (5·x + 4)/((x + 2)·(x - 4)) = A/(c + 2) + B/(x - 4)

Das ist also der Ansatz aus dem A und B zu ermitteln ist.

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Ich weiss nur leider nicht wie eine partialbruchzerlegung geht und wir hatten in der schule auch noch nie gauß oder so.. gibt es denn keinen anderen Weg die stammfunktion zu bilden, ohne partialbruchzerlegung?

Answer 2

f(x)=(x^2+3x-4)/(x^2-2x-8)=

1+ (5x+4)/(x^2-2x-8)=

1+ (5x+4)/((x-4)*(x+2))=

1+ (x-4+4x+8)/((x-4)*(x+2))=

1+ (x-4+4(x+2))/((x-4)*(x+2))=

1+(x-4)/((x-4)*(x+2))+4(x+2)/((x-4)*(x+2))=

f(x)=1+1/(x+2) + 4/(x-4)

F(x)= x+ln(x+2)+4ln(x-4)

F(x)= x+ln(x+2)+ln(x-4)^4

F(2)= 2+ln(4)+ln(16)≈6,1589

F(-1)= -1+ln(1)+ln(625)≈5,4378

F(2)-F(-1)≈0,7211

Comments

Danke für den ausführlichen rechenweg!!

Answer 3

Hallo,

gibt es denn keinen anderen Weg, die Stammfunktion zu bilden, ohne Partialbruchzerlegung?

--->JA

zuerst Polynomdivision:

(x^2  + 3x - 4) : (x^2 - 2x - 8)  =  1  Rest 5x + 4 
x^2  - 2x - 8
——————————————
      5x + 4

---------->

= ∫ (1 + (5x + 4)/(x^2 - 2x - 8)) dx

= ∫1 dx + ∫ (5x + 4)/(x^2 - 2x - 8)) dx

=x + ∫ (5x + 4)/(x^2 - 2x - 8)) dx

Forme um:

\( \frac{5 x+4}{x^{2}-2 x-8} \) = \( \frac{5(2 x-2)}{2\left(x^{2}-2 x-8\right)}+\frac{9}{x^{2}-2 x-8} \)

Lösung 1. Integral: Zähler ist die Ableitung des Nenners ->hier gibt es eine Formel

Lösung 2. Integral: via quadratischer Ergänzung +Substitution

Dieser Weg ist aber mit Sicherheit schwieriger.

Teile uns bitte mit, ob das Schul - oder UNI Mathematik ist ?

Schau am Besten in Deine Unterlagen, sowas muß ja schon behandelt worden sein.

Comments

Danke für die lösung :)

Das ist eigentlich schulstoff, ich übe gerade mathe mit einem Buch für das fachabi.. daher war ich auch sehr überrascht das diese teilaufgabe so viel schwieriger als der rest ist und auch mit neuem Stoff. Die lösung des 1 integrals kann ich auch berechnen, das 2 aber nicht weil wir auch noch nie quadratische ergänzen gemacht haben, vielleicht kommt das aber noch..Aber jetzt kann ich es einigermaßen nachvollziehen :)

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Wenn du noch nie quadratische Ergänzung gemacht hast, dann ist das hier auch nicht das Richtige .

Dann sehe dir die Binomischen Formeln an, zeichne sie auf . Ein ganz großes Quadrat,in dem sich ein etwas kleineres das große Quadrat zwei Rechtecke und ein kleines Quadrat befinden .Dieses kleine Quadrat male rot an. Denn darum geht es .

Früher dachten die Mathematiker beim großen Quadrat an einem Seeadler der zwischen seinen Beinen (die beiden Rechtecke) ein kleines rotes Quadrat trägt.

Der Seeadler ist unser   x^2

plus

Zwei Beine (2* ax)          2 ax

plus

Das kleine rote Quadrat   ?^2

$$(x+a)^2 =x^2 +2ax + ?^2$$

$$(x+?)^2 = x^2 +16x + ?^2$$

Wenn du das kleine rote Quadrat

findest, dann kannst du auch quadratische Gleichungen lösen

$$x^2 +6x =16$$

$$x^2 +6x +?^2 =16+?^2$$

Da ist es wieder das Kleine Quadrat , zwei Beine, also

$$ 6/2=3$$

Das Kleine Quadrat ist

$$?^2=3^2 =9$$

$$x^2 +2*3x +9 =16+9$$

$$(x+3)^2=25$$

Daraus die Wurzel

\( \sqrt{(x+3)^{2}} \) =\( \sqrt{25} \)

Jetzt gibt es ein kleines Problem, 5 ist die Wurzel aus 25 , denn die Wurzel ist nur positiv definiert . Doch

$$( 5 )^2=25$$$$( -5 )^2=25$$

Darum sind 5 und -5  Lösungen der Gleichung.

x₁+3=5

x₁=2

x₂+3 = -5
x₂ = -8

Gruß, Hogar