Zeige | \overline{AF} |=| \overline{DE} |.

Question

ABC sei ein gleichseitiges Dreieck. g sei die Parallele zu AB durch C und h sei eine Senkrechte auf AB durch eine beliebigen Punkt D auf AB. M sei der Mittelpunkt der Strecke BC. DM schneidet g in E. h schneidet BC in F.

Zeige |\( \overline{AF} \)|=|\( \overline{DE} \)|.

Answer 1

Ohne auf Details einzugehen: Die Dreiecke DBM und ECM sind kongruent, damit gilt DB = CE.

Eine Verschiebung der Strecke DE zum Punkt B erzeugt die grüne Strecke BP mit dem Punkt P,

für den jetzt PC = 2 CE gilt.

In dem kleinen Dreieck DBF gilt AUCH FB = 2 DB = 2 CE.

Damit sind die Dreiecke ABF und BPC kongruent (AB=BC, FB=PC und 60°=60°).

Wegen der Kongruenz der Dreiecke gilt AF=BP, und BP ist so lang wie ED.

Comments

Schöner Beweis, merkwürdig daran ist für mich, dass ich bei der Kongruenz von Δ ABF mit Δ BCP zweimal hingucken musste, während ich sofort dachte, warum verschiebt abakus nicht die grüne Linie durch C,  as aber keinen Unterschied macht.

Es fällt mir wohl leichter zu sehen, dass ein Winkel sich selbst gleich ist, anstatt zu sehen, dass sie ja beide 60° haben.

Alles Gute, Hogar

Answer 2

$$Sei $$

$$|AB|=1 ; A(0;0) ; B(1;0);$$

→

$$C(1/2;\sqrt{3}/2) $$$$M=(C+B)/2$$$$ M(3/4 ; \sqrt{3} /4)$$$$F=B+t*(M-B)$$$$F(1-1/4*t ;\sqrt{3} /4*t)$$$$D(1-1/4*t;0)$$

$$|AF| ^{2} =1-1/2*t +1/16*t^2+3/16t^2=$$$$(1-1/2t)^2$$

$$|2MD|^2= 1/4-1/2*t+1/4t^2=(1-1/2t)^2$$$$|AF|^2=|2MD|^2$$$$|AF| =| 2 MD|= |ED|$$

(|2MD|=|ED| folgt aus dem Strahlensatz)