Wie kehrt man binomische Formeln um (komplexe zahlen)?

Question

Aufgabe:

Wie kehrt man binomische Formeln um? Ich weiß nicht, ob das jetzt der richtige Fachausdruck ist, aber ich finde dazu leider nichts.

Ein Beispiel mit komplexen Zahlen: z = \( \sqrt{-7-24i} \)

Problem/Ansatz:

z^2 = a + bi

z^2 = -7 - 24i

z^2 = (a)^2 + 2abi + (bi)^2

Wie komme bekomme ich jetzt a und b?

Answer 1

Einerseits ist \(z^2=-7-24i\) und andererseits \(z^2=a^2-b^2+2abi\). Daraus folgt, dass auch \(-7-24i=a^2-b^2+2abi\) sein muss. Vergleiche den reellen und imaginären Anteil, dann hast du \(-7=a^2-b^2\) und \(-24=2ab\). Dieses Gleichungssystem ist zu lösen.

Ich erhalte \(a=3\) und \(b=-4\). Damit gilt \( \sqrt{-7-24i}=3-4i \)

Answer 2

Hallo Pegi,

Problem/Ansatz: $$z^2 = a + bi$$

Besser: \(z=a + bi\) und anschließend quadrierst Du das ganze$$\begin{aligned}z &= \sqrt{-7-24i} \\ z &= a + bi \\ z^2 &= a^2 - b^2 + 2abi = -7 - 24i \end{aligned}$$diese Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn Realteil und Realteil und Imaginärteil und Imaginärteil identisch sind - also$$\begin{aligned}a^2 - b^2 &= -7 \\ 2ab &= -24 \end{aligned}$$mit den beiden Ergebnissen$$a_1 = 4, \space b_1 = -3, \quad a_2 = -4, \space b_2=3$$

Answer 3

2ab=-24 → b=-12/a

a^2-b^2=-7 → (a+b)*(a-b)=-7

(a-12/a)*(a+12/a)=-7

a^2-144/a^2=-7      |*a^2

a^4+7a^2-144=0      | a^2=z

z^2+7z-144=0

z=-3,5±√(12,25+144)

z=-3,5±12,5

z=9   (Die negative Lösung entfällt.)

a=3; b=-4     oder    a=-3; b=4

Probe:

(3-4i)^2=9-24i-16=-7-24i

(-3+4i)^2=-7-24i

:-)

Comments

Danke, schaut gut aus aber mir fällt gerade auf das man ohne Taschenrechner ein wenig aufgeschmissen ist, wegen der Quadratwurzel z.b., gibt es auch eine simplere Methode, wenn man ohne Taschenrechner auskommen muss?

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z^2+7z-144=0

Wenn es ganzzahlige Lösungen gibt, müssen sie Teiler von -144 sein.

Vieta:

Das Produkt der Lösungen ist -144, die Summe ist -7 (Geändertes Vorzeichen!)

-16*9=16*(-9)=-144

(16-9=+7)          -16+9=-7

z=9 usw.

:-)

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Vielen Dank, hat mir sehr geholfen :)