Teilbarkeit der Glieder einer Folge von Polynomen

Question

Aufgabe:

Eine Folge von Polynomen wird mit P₀=1, P₁=x und  P_n=x*P_n-1+(n-1)*P_n-2 definiert. Zu beweisen ist nun, dass jede ungerade Zahl a den Term P_a-x^a für alle ganzen Zahlen x teilt.

Problem/Ansatz:

Die ersten Glieder der Folge lassen sich ja noch recht simpel berechnen. Dann stellt man auch fest, dass sich (für ungerade a) in P_a-x^a das x^a einfach herauskürzt. Die übrigen Potenzen von x haben alle einen Koeffizienten, der ein Vielfaches von a ist. Hier ist die Behauptung dann recht offensichtlich. Wie lässt sich aber zeigen, dass das auch bei höheren a so bleibt. Mein Tipp wäre Induktion mit a=3 als Ausgang. Ich weiß allerdings noch nicht so recht wie ich das umsetzten kann, bzw. ob das so überhaupt funktioniert. Habt ihr irgendwelche Ideen dazu? Viele, vielen Dank!!! Ist für mich sehr wichtig!

Comments

Für \(a=3\) folgt \(P_3=x\cdot P_2 + 3\cdot P_1 = x\cdot (x\cdot P_1+2\cdot P_0)+3\cdot P_1 \\= x\cdot (x\cdot x + 2 \cdot 1) + 3 \cdot x = x^3+5x\).

Allerdings teilt \(a\) nicht \(P_3-x^3 = 5x\) für z.B. \(x=1\in \mathbb{Z}\).

Dementsprechend würde das die Aussage widerlegen.

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Das stimmt! Liegt wohl an einen Fehler beim übertragen des Aufgabentextes. Die Folge ist durch P_{1}=x und P_{n}=x*P_{n-1}+(n-1)*P_{n-2 } definiert. Tut mir echt leid! Kann ich das im oben noch irgendwie ändern?

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Habe es korrigiert.

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Vielen Dank!!!

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ich habe inzwischen rausbekommen, dass sich alle Koeffizienten für ungerade n (außer natürlich der von xⁿ) in der Form i*a+(a+b(i+1)) darstellen lassen müssten (a und b sind positive ganze Zahlen; es gilt n=i+1), wodurch die Behauptung bewiesen wäre. Hierfür bräuchte ich jedoch einen Beweis. Vielen Dank!