$$A=(50(2pi-8*arcsin(2^{-1,5}))$$$$+400*2^{-1,5}cos(arcsin (2^{-1,5}))$$$$-50)LE^2 $$
Oder auch
$$A=(50(2pi-8*arcsin(2^{-1,5}))$$$$+50*\sqrt{7}-50)LE^2 $$
Da die Frage nach der genauen Fläche gestellt worden war, verzichte ich auf die Berechnung der ungefähren Fläche .
Scheinbar ist es nötig meine Formel zu erklären.
Ich habe die Sehne berechnet.
$$s=5*2^{-0,5}=10*2^{-1,5}$$
$$s/2=10*2^{-2,5}$$
Dann den Winkel α
$$sin (α)=s/2/10=2^{-2,5}$$
$$ α = arcsin(2^{-2,5})$$
$$ cos (α)=cos (arcsin(2^{-2,5}) $$
Vom Vollkreis habe ich dann
Ein Teil der Grauen Fläch ist also
$$A_1= 50*(2pi-8*arcsin(2^{-1,5}))$$$$≈169,6124$$
Der nächste Teil ist die Fläche der Dreiecke die durch den Mittelpunkt und den Sehnenschnittpunkten gebildet werden, da wir davon 4 haben mal 4
$$A_2=400*2^{-1,5}cos(arcsin (2^{-1,5})$$$$≈132 2876$$
Wer will kann das noch vereinfachen
denn
$$A_2=400*2^{-1,5}cos(arcsin (2^{-1,5})$$$$=50*\sqrt{7}≈132,2876$$
Doch halt, das war zuviel, davon muss ich noch diese 4 kleinen 5×5 Dreiecke abziehen
$$A_3=-50$$
Damit
$$A=A_1+A_2+A_3≈251,9000LE^2$$
So wie oben dargestellt.
Ich habe also die Torte in 4 ganze Tortenstücke
$$A_1$$
Und 4 angeknabberte Tortenstücke
$$A_2 +A_3= A_2 -50$$
aufgeteilt.
