wie beweise ich, dass eine Folge eine Cauchy Folge ist?

Question

Ist die Folge a_n= (1-qⁿ⁺¹) / ( 1-q) eine Cauchy-Folge?

Hinweise : Falls |q| < 1 konvergiert a_n gegen 1/ ( 1-q)

Comments

Siehe dazu auch die folgende Frage

--> https://www.mathelounge.de/6905/analysis-zeige-an-q%C2%B2-definiert-eine-cauchyfolge-falls-1-ist

Answer 1

Für ein beliebiges festes |q|>1 divergiert die Folge, denn 1 und q sind konstant, qⁿ⁺¹ → ∞, also ist die Folge dann keine Cauchy-Folge.

Falls |q|<1, konvergiert die Folge gegen 1/(1-q) also ist sie in ℝ eine Cauchyfolge.

Falls |q|=1 ist die Formel nicht definiert, man kann sie allerdings durch Polynomdivision wieder in eine definierte Form überführen:

(1-qⁿ⁺¹)/(1-q) = 1 + q + q² + ... qⁿ = ∑_k=0...n q^k

Für q = 1 divergiert die Reihe, da sie schreibbar ist als ∑_k=0...n 1 = n+1

Für q = -1 divergiert die Reihe nicht, sie konvergiert aber auch nicht. Stattdessen springt sie zwischen 1 und 0.

 

Die Folge ist also nur für |q|<1 eine Cauchyfolge.