Grenzwerte berechnen, falls sie existieren,

Question

Berechne folgende Grenzwerte falls sie existieren

 

a) lim x→1  (x³-1)/(x-1)

b) lim x→1  (x⁴-1)/(x-1)

c) lim x→2  (x³-8)/(x-2)

d) lim x→1  (xⁿ-1)/(x-1)

e) lim x→a  (xⁿ-aⁿ)/(x-a)

 

nach meinen Berrechnungen haben alle 5 Pkt keinen Grenzwert, da lt Def x nicht y sein darf, das aber in allen Fällen eintrifft 

 

Kann mir da wer für Erklärung sorgen ? Vielen lieben Dank !

Answer 1

 

Wenn Zähler und Nenner gegen 0 gehen darf ich die Regel von 

https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital

anwenden. Grenzwert heißt ja x geht gegen eine Zahl z, wird aber nie gleich z. Also x nähert sich nur unendlich dicht an z an ohne z jemals zu erreichen.

a) lim x→1  (x³-1)/(x-1)

= lim x→1  (3x²)/(1) = 3

b) lim x→1  (x⁴-1)/(x-1)

= lim x→1  (4x³)/(1) = 4

c) lim x→2  (x³-8)/(x-2)

= lim x→2  (3x²)/(1) = 12

d) lim x→1  (xⁿ-1)/(x-1)

= lim x→1  (nx^n-1)/(1) = n

e) lim x→a  (xⁿ-aⁿ)/(x-a)

= lim x→a  (nx^n-1)/(1) = na^n-1

Answer 2

Für jeden der Grenzwerte geht zwar der Nenner gegen 0, aber auch der Zähler geht gegen 0, das heißt, dass es möglich ist, dass am Ende eine endliche Zahl herauskommt.

Dafür kann man hier jeweils eine Polynomdivision durchführen:

 

a) Bestimme (x³-1)/(x-1):

(x³-1)/(x-1) = x²+x+1

Ich hoffe du weißt, wie Polynomdivision funktioniert, das ist nämlich sehr schwer hier im Forum zu erklären und das Video von matheretter.de zu diesem Thema ist leider noch nicht fertig.

Wenn du das nun also weißt, dann kannst du in den Grenzwert einfach den berechneten Quotienten einsetzen:

lim_x→1  (x³-1)/(x-1) = lim_x→1 x²+x+1 = 1+1+1 = 3

 

Ganz analog funktioniert das bei den anderen Aufgaben, ich will aber nicht alles jetzt vorrechnen, darum mal nur die Ergebnisse für dich zur Kontrolle:

b) 4
c) 12
d) n
e) n*a^n-1